Cho tổng: $S=\frac{C_{2026}^1}{2}+\frac{2C_{2026}^2}{3}+\frac{3C_{2026}^3}{4}+\dots +\frac{2025C_{2026}^{2025}}{2026}+\frac{2026C_{2026}^{2026}}{2027}$

Biết rằng tổng $S$ được viết dưới dạng phân số tối giản $S=\frac{a\cdot 2^b+1}{c}$ với $a,b,c\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Tính giá trị của biểu thức $P=c-b+a$.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng đồng nhất thức $\frac{k}{k+1}{C}_n^k=C_n^k-\frac{C_n^k}{k+1}$ và $\frac{C_n^k}{k+1}=\frac{C_{n+1}^{k+1}}{n+1}$. Với $n=2026$: $$S=\sum _{k=1}^{2026}{C}_{2026}^k-\frac{1}{2027}\sum _{k=1}^{2026}{C}_{2027}^{k+1}=\left(2^{2026}-1\right)-\frac{2^{2027}-1-2027}{2027}.$$ (Tổng ${\sum }_{j=2}^{2027}{C}_{2027}^j=2^{2027}-1-2027$.) Suy ra $$S=\frac{2027\cdot 2^{2026}-2027-2^{2027}+2028}{2027}=\frac{2025\cdot 2^{2026}+1}{2027}.$$ Kiểm tra phân số tối giản: $2027$ là số nguyên tố (không chia hết cho các nguyên tố $\le 43$), và $2025\cdot 2^{2026}+1\equiv 2026\not\equiv 0(\mathrm{mod}2027)$ (vì $2^{2026}\equiv \pm 1(\mathrm{mod}2027)$ do $2026=2\cdot 1013$ với $1013$ nguyên tố). Vậy $a=2025,b=2026,c=2027$, nên $P=c-b+a=2027-2026+2025=2026$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn.