Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt[3]{x-29}+\sqrt{4x+1}}{(x-2)\left(x^2+3x+9\right)},& \text{khi }x\ne 2\\ 2mx+m^2+\frac{1}{27},& \text{khi }x=2\end{array}$

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số liên tục tại điểm $x_0=2$?

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x_0=2$ khi $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=f(2)$.

Tính giới hạn: tại $x=2$, tử số $\sqrt[3]{2-29}+\sqrt{4\cdot 2+1}=\sqrt[3]{-27}+\sqrt{9}=-3+3=0$, mẫu có nhân tử $(x-2)$, nên đây là dạng $\frac{0}{0}$.

Áp dụng định nghĩa đạo hàm cho $g(x)=\sqrt[3]{x-29}+\sqrt{4x+1}$:
$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{g(x)-g(2)}{x-2}=g^{\prime }(2).$$
Với $g_1(x)=\sqrt[3]{x-29}$: $g_1^{\prime }(x)=\frac{1}{3}(x-29{)}^{-2/3}$, nên $g_1^{\prime }(2)=\frac{1}{3}\cdot 27^{-2/3}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{9}=\frac{1}{27}$.
Với $g_2(x)=\sqrt{4x+1}$: $g_2^{\prime }(x)=\frac{2}{\sqrt{4x+1}}$, nên $g_2^{\prime }(2)=\frac{2}{3}$.
Vậy $g^{\prime }(2)=\frac{1}{27}+\frac{2}{3}=\frac{19}{27}$.

Mẫu số: $(x-2)(x^2+3x+9)$ với $x^2+3x+9\to 19$ khi $x\to 2$. Do đó:
$$\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=\frac{19/27}{19}=\frac{1}{27}.$$

Điều kiện liên tục: $f(2)=4m+m^2+\frac{1}{27}=\frac{1}{27}\iff m^2+4m=0\iff m=0$ hoặc $m=-4$.

Cả hai giá trị đều nguyên, nên có $2$ giá trị nguyên của $m$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1202, Phần III câu 3: 2).