Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như sau

$x$	$-\infty$		$1$		$2$		$3$		$4$		$+\infty$
$f^{\prime }(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$-\infty$	↗	$3$	↘	$1$	↗	$2$	↘	$0$	↗	$+\infty$

Tìm số điểm cực trị của hàm số $g(x)=(f(x){)}^3-3(f(x){)}^2+2$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $h(t)=t^3-3t^2+2$, khi đó $g(x)=h(f(x))$ và $g^{\prime }(x)=h^{\prime }(f(x))\cdot f^{\prime }(x)$ với $h^{\prime }(t)=3t(t-2)$. Hàm $h$ tăng trên $(-\infty ,0)$, giảm trên $(0,2)$, tăng trên $(2,+\infty )$.

Xét các điểm ứng viên:
- $x=1$ ($f=3$): $h^{\prime }(3)>0$, $f^{\prime }$ đổi dấu $+\to -$ nên $g^{\prime }$ đổi dấu $+\to -$: cực đại.
- $x=2$ ($f=1$): $h^{\prime }(1)<0$, $f^{\prime }$ đổi dấu $-\to +$ nên $g^{\prime }$ đổi dấu $+\to -$: cực đại.
- $x=3$ ($f=2$): $h^{\prime }(2)=0$; trước $x=3$ có $f<2,f^{\prime }>0$ nên $g^{\prime }<0$; sau $x=3$ có $f>2,f^{\prime }<0$ nên $g^{\prime }<0$: không đổi dấu, không phải cực trị.
- $x=4$ ($f=0$): trước $x=4$: $f\in (0,2),f^{\prime }<0,h^{\prime }<0$ nên $g^{\prime }>0$; sau $x=4$: $f^{\prime }>0,h^{\prime }<0$ nên $g^{\prime }<0$: đổi dấu, cực đại.

Ngoài ra, do $f$ liên tục và đơn điệu trên từng khoảng, phương trình $f(x)=0$ có thêm nghiệm trong $(-\infty ,1)$ (f tăng qua 0, $g^{\prime }$ đổi dấu $+\to -$: cực trị); phương trình $f(x)=2$ có thêm một nghiệm trong $(-\infty ,1)$ (f tăng qua 2, $g^{\prime }$ đổi dấu $-\to +$: cực trị) và một nghiệm trong $(1,2)$ (f giảm qua 2, $g^{\prime }$ đổi dấu $+\to -$: cực trị).

Vậy tổng số điểm cực trị của $g(x)$ là $4+3=6$.