Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hình thang $ABCD$ có hai đáy $AB$, $CD$; tọa độ ba đỉnh $A(1;2;0)$, $B(2;0;-2)$, $C(6;1;-1)$. Biết hình thang có diện tích bằng $6\sqrt{2}$. Giả sử đỉnh $D(a;b;c)$, tính $P=3a+b-c$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(1;-2;-2)$, $|AB|=3$. Vì $CD\parallel AB$ nên $\overrightarrow{CD}=t\overrightarrow{AB}$, suy ra $D=(6+t;1-2t;-1-2t)$.

Chiều cao của hình thang là khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $CD$ (đi qua $C$ theo phương $AB$): $\overrightarrow{AC}=(5;-1;-1)$, $\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AB}=(0;9;-9)$, độ dài $9\sqrt{2}$, nên $h=\frac{9\sqrt{2}}{3}=3\sqrt{2}$.

Diện tích: $S=\frac{1}{2}(AB+CD)\cdot h=\frac{1}{2}(3+3|t|)\cdot 3\sqrt{2}=6\sqrt{2}\Rightarrow 3+3|t|=4\Rightarrow |t|=\frac{1}{3}$.

Xét tính lồi của tứ giác $ABCD$: với $t=\frac{1}{3}$, $D$ nằm kéo dài quá $C$ theo chiều $\overrightarrow{AB}$, tứ giác không lồi (góc tại $C$ phản xạ). Với $t=-\frac{1}{3}$: $D=\left(\frac{17}{3};\frac{5}{3};-\frac{1}{3}\right)$, kiểm tra các tích có hướng $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{BC}=(0;-9;9)$ và $\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{CD}=(0;-3;3)$ cùng phương cùng chiều → tứ giác lồi, thỏa mãn.

Vậy $P=3a+b-c=3\cdot \frac{17}{3}+\frac{5}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)=17+2=19$.