Cho hàm số $f(x)$ có $f\left(\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{4}{3}$ và $f^{\prime }(x)=16{\cos }^{4}x\sin 2x,\forall x\in \mathbb{R}$. Biết $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ thỏa mãn $F(0)=\frac{15}{26}$. Tính $F(\pi )$.

Ta có $f^{\prime }(x)=16{\cos }^{4}x(2\sin x\cos x)=32{\cos }^{5}x\sin x=-32{\cos }^{5}xd(\cos x)$. Do đó $f(x)=-\frac{32}{6}{\cos }^{6}x+C_1=-\frac{16}{3}{\cos }^{6}x+C_1$. Với $f\left(\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{16}{3}{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^6+C_1=-\frac{16}{24}+C_1=-\frac{2}{3}+C_1=-\frac{4}{3}\Rightarrow C_1=-\frac{2}{3}$. Suy ra $f(x)=-\frac{16}{3}{\cos }^{6}x-\frac{2}{3}$. Khi tìm $F(x)$, ta hạ bậc ${\cos }^{6}x$. Do các hàm lượng giác tuần hoàn, khi tính $F(\pi )-F(0)={\int }_0^{\pi }f(x)dx$ và dùng điều kiện $F(0)=\frac{15}{26}$, ta thu được $F(\pi )=\frac{15}{26}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn B.