Cho hàm số $f(x)$ có $f^{\prime }(x)=(x^2-7x+10)(x^2-2(m+1)x+2m+6)$. Hỏi có tất cả bao nhiêu số nguyên $m$ không vượt quá 2022 sao cho hàm số $g(x)=f(x^2+1)$ có 9 điểm cực trị?

Ta có $g^{\prime }(x)=2x{f}^{\prime }(x^2+1)$. Để $g(x)$ có 9 điểm cực trị thì phương trình $f^{\prime }(x^2+1)=0$ phải có 8 nghiệm phân biệt khác 0, tương đương với $f^{\prime }(t)=0$ có 4 nghiệm phân biệt lớn hơn 1. Phương trình $t^2-7t+10=0\iff t=2$ hoặc $t=5$ (đều $>1$). Do đó tam thức $h(t)=t^2-2(m+1)t+2m+6=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1 và khác 2, 5. Giải điều kiện ${\Delta }^{\prime }>0$, $af(1)>0$, $S/2>1$, kết hợp với $m\le 2022,m\in \mathbb{Z}$, ta tìm được 2019 giá trị nguyên của $m$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn A.