Cho hai số phức $z_1,z_2$ thỏa mãn $|z_1+3-i|+|z_1-4+6i|=7\sqrt{2}$ và $|z_2-2-2i|=\frac{1}{2}$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=|z_1+2z_2|=a\sqrt{b}+c$ ($a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast },c\in \mathbb{Z}$). Tính tổng $a+b+c$.

Gọi $M(z_1),A(-3;1),B(4;-6)$. Ta có $AB=\sqrt{(4-(-3){)}^2+(-6-1{)}^2}=\sqrt{49+49}=7\sqrt{2}$. Vì $MA+MB=AB$ nên điểm $M$ thuộc đoạn thẳng $AB$. Phương trình đường thẳng $AB$: $x+y+2=0$ với $x\in [-3;4]$. Đặt $w=-2z_2$, ta có $|w+4+4i|=2|z_2-2-2i|=1$, suy ra điểm $N(w)$ thuộc đường tròn tâm $I(-4;-4)$ bán kính $R=1$. Khi đó $P=|z_1-w|=MN\ge d(I,AB)-R=\frac{|-4-4+2|}{\sqrt{1^2+1^2}}-1=\frac{6}{\sqrt{2}}-1=3\sqrt{2}-1$. Suy ra $a=3,b=2,c=-1$. Tổng $a+b+c=3+2-1=4$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn B.