Cho hàm số $f(x)$ là một đa thức thỏa mãn $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)-2}{x-1}=2025$. Biết $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{af(x)+1}+b}{x-1}=1350$. Tính $a^2+b^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)-2}{x-1}=2025$ suy ra $f(1)=2$ và $f^{\prime }(1)=2025$ (định nghĩa đạo hàm). Để $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{af(x)+1}+b}{x-1}$ hữu hạn, tử số phải tiến về 0 khi $x\to 1$: $\sqrt{2a+1}+b=0$, tức $b=-\sqrt{2a+1}$ với $s=\sqrt{2a+1}>0$. Khi đó, theo quy tắc đạo hàm của hàm hợp: $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{af(x)+1}+b}{x-1}=\frac{a{f}^{\prime }(1)}{2\sqrt{2a+1}}=\frac{2025a}{2s}=1350$. Vì $a=\frac{s^2-1}{2}$, thay vào: $2025(s^2-1)=5400s\Rightarrow 3s^2-8s-3=0\Rightarrow s=3$ (nghiệm dương). Suy ra $a=\frac{9-1}{2}=4$, $b=-3$. Vậy $a^2+b^2=16+9=25$. Kiểm tra lại: $\sqrt{4\cdot 2+1}-3=0$ đúng, và $\frac{4\cdot 2025}{2\cdot 3}=1350$ đúng.