Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M$ là trung điểm $AO$. Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $M$ và song song với $BD$; $SA$ và mặt phẳng $(\alpha )$ cắt $SC$ tại $N$. Giả sử SN=kNC thì k bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $A$ làm gốc, $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$ thì $\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\vec{d}$. Vì $O$ là trung điểm $AC$ và $M$ là trung điểm $AO$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{4}(\vec{b}+\vec{d})$. Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $M$, song song với $BD$ và $SA$, cắt $SC$ tại $N$. Vì $SA\parallel (\alpha )$, trong mặt phẳng $(SAC)$ đường thẳng qua $M$ song song với $SA$ cắt $SC$ tại $N$. Tọa độ hóa: $N=M+t\overrightarrow{AS}$ cũng nằm trên $SC$: $N=S+u(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AS})$. So sánh hệ số theo $\overrightarrow{AC}$: $u=\frac{1}{4}$; hệ số theo $\overrightarrow{AS}$: $t=1-u=\frac{3}{4}$. Vậy $\overrightarrow{SN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{SC}$, suy ra $SN=\frac{1}{4}SC$, $NC=\frac{3}{4}SC$, do đó $k=\frac{SN}{NC}=\frac{1}{3}\approx 0,33$.