Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi các điểm $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh bên $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$ và $C{C}^{\prime }$ (tham khảo hình vẽ). Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) Đường thẳng $MN$ song song với đường thẳng $AC$.
b) Đường thẳng $AP$ song song với mặt phẳng $(M{B}^{\prime }{C}^{\prime })$.
c) Mặt phẳng $(ANP)$ song song với mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$.
d) Giả sử tam giác $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ với $AB=\sqrt{3}$. Gọi $E,E^{\prime }$ lần lượt thuộc các cạnh $AB$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }$ sao cho $\frac{AE}{AB}=\frac{1}{2},\frac{A^{\prime }{E}^{\prime }}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{1}{3}$. Mặt phẳng qua $E{E}^{\prime }$ và song song với $BC$ cắt $MN,MP$ lần lượt tại $I,J$. Khi đó: $IJ=\frac{a\sqrt{6}}{b}$, $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản, và $a+b=17$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A=(0;0;0)$, $B=(1;0;0)$, $C=(0;1;0)$, $A^{\prime }=(0;0;h)$, $B^{\prime }=(1;0;h)$, $C^{\prime }=(0;1;h)$. Khi đó $M=(0;0;h/2)$, $N=(1/2;0;h/2)$, $P=(0;1/2;h/2)$.

a) $MN$ là đoạn nối trung điểm $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$ nên $MN\parallel AB$, không song song với $AC$ (và $MN$ chéo với $AC$). → Sai.

b) Mặt phẳng $(M{B}^{\prime }{C}^{\prime })$: $\overrightarrow{M{B}^{\prime }}=(1;0;h/2)$, $\overrightarrow{M{C}^{\prime }}=(0;1;h/2)$, pháp tuyến $\vec{n}=(-h/2;-h/2;1)$. Ta có $\overrightarrow{AP}=(0;1/2;h/2)$, tích vô hướng $\overrightarrow{AP}\cdot \vec{n}=-h/4+h/2=h/4\ne 0$, nên $AP$ không song song với $(M{B}^{\prime }{C}^{\prime })$. → Sai.

c) Mặt phẳng $(ANP)$ có pháp tuyến $\overrightarrow{AN}\times \overrightarrow{AP}=(-h^2/4;-h/4;1/4)$, khác phương với pháp tuyến $(0;0;1)$ của $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$, nên hai mặt phẳng không song song (chúng cắt nhau theo đường thẳng qua $A$). → Sai.

d) Với $AB=\sqrt{3}$, tọa độ nhân hệ số $\sqrt{3}$: $E=(\sqrt{3}/2;0;0)$, $E^{\prime }=(\sqrt{3}/3;0;h)$. Mặt phẳng qua $E{E}^{\prime }$ song song $BC$ (chỉ phương $(-1;1;0)$) có phương trình (đơn vị $AB=1$): $hx+hy+\frac{z}{6}=\frac{h}{2}$.
- Trên $MN$: điểm $(t;0;h/2)$ thỏa $ht+h/12=h/2\Rightarrow t=5/12$, nên $I=(5/12;0;h/2)$.
- Trên $MP$: điểm $(0;s/2;h/2)$ thỏa $hs/2+h/12=h/2\Rightarrow s=5/6$, nên $J=(0;5/12;h/2)$.

$IJ=\sqrt{(5/12{)}^2+(5/12{)}^2}=\frac{5\sqrt{2}}{12}$ (với $AB=1$). Nhân hệ số $\sqrt{3}$: $IJ=\frac{5\sqrt{6}}{12}$. Vậy $a=5$, $b=12$ (tối giản), $a+b=17$. → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$MN$ nối trung điểm $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$ nên $MN\parallel AB$, không song song với $AC$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với pháp tuyến $\vec{n}=(-h/2;-h/2;1)$ của $(M{B}^{\prime }{C}^{\prime })$, $\overrightarrow{AP}\cdot \vec{n}=h/4\ne 0$ nên $AP$ không song song với $(M{B}^{\prime }{C}^{\prime })$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$(ANP)$ chứa $A$ không thuộc $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ và pháp tuyến không cùng phương, hai mặt phẳng cắt nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tính tọa độ được $I=(5/12;0;h/2)$, $J=(0;5/12;h/2)$ (đơn vị $AB=1$), $IJ=5\sqrt{2}/12$; với $AB=\sqrt{3}$ thì $IJ=\frac{5\sqrt{6}}{12}$, $a+b=5+12=17$.