Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f^{\prime }(x)=e^x-2,\forall x\in \mathbb{R}$.
a) $\int f^{\prime }(x)dx=e^x-2x+C$.
b) Khi $f(0)=2$ thì $f(x)=e^x-2x+2$.
c) ${\int }_0^{2}f(x)dx=e^2-4$.
d) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các đường $y=f^{\prime }(x),y=x^2+e^x-6,x=-2,x=0$ bằng $\frac{29}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=e^x-2$.
a) Nguyên hàm: $\int f^{\prime }(x)dx=e^x-2x+C$ → Đúng.
b) $f(x)=e^x-2x+C$; $f(0)=1+C=2\Rightarrow C=1$, vậy $f(x)=e^x-2x+1$, không phải $e^x-2x+2$ → Sai.
c) ${\int }_0^{2}f(x)dx={\int }_0^2(e^x-2x+1)dx=(e^x-x^2+x){|}_0^2=e^2-4+2-1=e^2-3\ne e^2-4$ → Sai.
d) Hiệu hai hàm: $(x^2+e^x-6)-(e^x-2)=x^2-4\le 0$ trên $[-2;0]$. Diện tích $={\int }_{-2}^0(4-x^2)dx={\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-2}^0=0-\left(-8+\frac{8}{3}\right)=\frac{16}{3}\ne \frac{29}{3}$ → Sai.
Kết quả: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Sai, khớp đáp án mã 101 (ĐSSS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của $e^x-2$ là $e^x-2x+C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $f(0)=2$ suy ra $C=1$, nên $f(x)=e^x-2x+1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^2(e^x-2x+1)dx=e^2-3\ne e^2-4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích $={\int }_{-2}^0(4-x^2)dx=\frac{16}{3}\ne \frac{29}{3}$.