Cho hàm số $f(x)=\frac{x^2}{1-x}$. Đạo hàm cấp $2018$ của hàm số $f(x)$ là:

Ta phân tích biểu thức của hàm số:
$f(x)=\frac{x^2}{1-x}=\frac{x^2-1+1}{1-x}=-(x+1)+\frac{1}{1-x}$

Vì $-(x+1)$ là đa thức bậc nhất nên đạo hàm từ cấp $2$ trở lên của nó bằng $0$.

Do đó với mọi $n\ge 2$:
$f^{(n)}(x)={\left(\frac{1}{1-x}\right)}^{(n)}$

Đặt $g(x)=\frac{1}{1-x}=(1-x{)}^{-1}$. Ta tính các đạo hàm cấp thấp:
- $g^{\prime }(x)=-(-1)(1-x{)}^{-2}=\frac{1}{(1-x{)}^2}=\frac{1!}{(1-x{)}^2}$;
- $g^{\prime \prime }(x)=-2(-1)(1-x{)}^{-3}=\frac{2!}{(1-x{)}^3}$;
- $g^{(3)}(x)=-3(-1)\cdot 2!(1-x{)}^{-4}=\frac{3!}{(1-x{)}^4}$.

Bằng phương pháp quy nạp, ta có công thức đạo hàm cấp $n$:
$g^{(n)}(x)=\frac{n!}{(1-x{)}^{n+1}}$

Áp dụng với $n=2018$:
$f^{(2018)}(x)=\frac{2018!}{(1-x{)}^{2019}}$