Cho hàm số $y=\frac{x-1}{m{x}^2-2x+3}$. Có tất cả bao nhiêu giá trị $m$ để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận?

Xét hàm số $y=\frac{x-1}{m{x}^2-2x+3}$.

1) Trường hợp 1: $m=0$.
Khi đó $y=\frac{x-1}{-2x+3}$.
- Tiệm cận ngang: $y=-\frac{1}{2}$.
- Tiệm cận đứng: $x=\frac{3}{2}$.
Đồ thị hàm số có đúng $2$ đường tiệm cận $\Rightarrow m=0$ thỏa mãn.

2) Trường hợp 2: $m\ne 0$.
Bậc của mẫu là $2$, bậc của tử là $1$ nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=0$, suy ra đường thẳng $y=0$ luôn là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Để đồ thị hàm số có đúng $2$ đường tiệm cận thì đồ thị hàm số phải có đúng $1$ tiệm cận đứng. Điều này tương đương với phương trình mẫu số $g(x)=m{x}^2-2x+3=0$ có đúng một nghiệm khác $1$, xảy ra khi:
- Khả năng 2.1: $g(x)=0$ có nghiệm kép khác $1$:
${\Delta }^{\prime }=1-3m=0\iff m=\frac{1}{3}$
Khi $m=\frac{1}{3}$, nghiệm kép là $x=-\frac{b^{\prime }}{a}=3\ne 1$. Do đó $m=\frac{1}{3}$ thỏa mãn.
- Khả năng 2.2: $g(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt trong đó có đúng một nghiệm $x=1$:
$g(1)=0\iff m-2+3=0\iff m=-1$
Khi $m=-1$, phương trình mẫu là $-x^2-2x+3=0\iff -(x-1)(x+3)=0$.
Khi đó $y=\frac{x-1}{-(x-1)(x+3)}=\frac{-1}{x+3}$ (với $x\ne 1$).
Đồ thị có duy nhất một tiệm cận đứng $x=-3\Rightarrow m=-1$ thỏa mãn.

Tổng hợp lại, có $3$ giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $m\in \left\{-1;0;\frac{1}{3}\right\}$.