Cho hàm số $f(x)=\frac{-x^2+x-2}{x+1}$ có đồ thị $(C)$. Xét tính đúng sai các mệnh đề sau:

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\frac{-x^2+x-2}{x+1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.

a) Theo quy tắc thương: $f^{\prime }(x)=\frac{(-2x+1)(x+1)-(-x^2+x-2)\cdot 1}{(x+1{)}^2}=\frac{-2x^2-2x+x+1+x^2-x+2}{(x+1{)}^2}=\frac{-x^2-2x+3}{(x+1{)}^2}$. Mệnh đề đúng.

b) $f^{\prime }(x)>0\iff -x^2-2x+3>0\iff -3<x<1$. Trên $(1;+\infty )$ có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến, không đồng biến. Mệnh đề sai.

c) Chia đa thức: $\frac{-x^2+x-2}{x+1}=-x+2-\frac{4}{x+1}$, nên đồ thị $(C)$ có tiệm cận xiên $y=-x+2$. Mệnh đề đúng, khớp với đáp án nguồn (ý c) được gạch chân trên trang đáp án, trang 7).

d) $f^{\prime }(x)=0\iff x=1$ hoặc $x=-3$. Ta có $f(1)=\frac{-1+1-2}{2}=-1$ và $f(-3)=\frac{-9-3-2}{-2}=7$. Đường thẳng qua hai điểm cực trị $(1;-1)$ và $(-3;7)$ có hệ số góc $\frac{7-(-1)}{-3-1}=-2$, phương trình $y=-2x+1\ne -x+1$. Mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{(-2x+1)(x+1)-(-x^2+x-2)}{(x+1{)}^2}=\frac{-x^2-2x+3}{(x+1{)}^2}$. Mệnh đề đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)>0\iff -3<x<1$; trên $(1;+\infty )$ có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến. Mệnh đề sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\frac{-x^2+x-2}{x+1}=-x+2-\frac{4}{x+1}$, nên đồ thị có tiệm cận xiên $y=-x+2$. Mệnh đề đúng, khớp với đáp án nguồn (ý c) được gạch chân trên trang đáp án, trang 7).
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Hàm đạt cực trị tại $x=1$, $x=-3$ với $f(1)=-1$, $f(-3)=7$. Đường thẳng qua hai điểm cực trị là $y=-2x+1$, không phải $y=-x+1$. Mệnh đề sai.