Cho hàm số $f(x)=2^{2x}$ và hàm số $g(x)=\cot x$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2: f(x)=2^{2x}=4^x, g(x)=cot x.
a) F'(x)=(2^{2x-1}ln2)'=2^{2x-1}·ln2·2ln2=2^{2x}ln^2 2 ≠ 2^{2x}. Vậy F không phải nguyên hàm của f → SAI.
b) Trên (0;π), sin x>0 nên G(x)=ln(sin x) xác định và G'(x)=cos x/sin x=cot x=g(x) → ĐÚNG.
c) sin2x·cot x=2sin x cos x·(cos x/sin x)=2cos^2 x=1+cos2x. Do đó ∫(1+cos2x)dx=x+sin2x/2+C → ĐÚNG.
d) ∫f(x)dx=∫4^x dx=4^x/ln4=2^{2x-1}/ln2 (không phải 2^{2x+1}/ln2); ∫cot^2 x dx=∫(csc^2 x−1)dx=−cot x−x+C (không phải +cot x−x). Cả hai thành phần đều sai → SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
F'(x)=2^{2x-1}·(ln2)^2·2=2^{2x}ln^2 2 ≠ f(x), nên F không là nguyên hàm của f.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên (0;π) có sin x>0, G'(x)=cos x/sin x=cot x=g(x), nên G là một nguyên hàm của g.
c) (AI giải đề cho tôi)
sin2x·cot x=2cos^2 x=1+cos2x, tích phân bằng x+sin2x/2+C.
d) (AI giải đề cho tôi)
∫2^{2x}dx=2^{2x-1}/ln2 và ∫cot^2 x dx=−cot x−x+C, khác với biểu thức đề bài.