Cho hàm số $f(x)=x^3-3x^2+1$ có đồ thị $(C)$.

(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$.
a) $f^{\prime }(x)<0$ trên $(0;2)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng này, không đồng biến trên tập xác định → SAI.
b) $f^{\prime }(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt $x=0$ (cực đại) và $x=2$ (cực tiểu) → ĐÚNG.
c) $f(0)=1>0$, $f(2)=-3<0$, hàm liên tục nên theo định lý giá trị trung gian đồ thị cắt trục hoành (hàm bậc 3 luôn có ít nhất một nghiệm thực) → ĐÚNG.
d) Trên $\left[-1;\frac{5}{2}\right]$: $f(-1)=-3$, $f(0)=1$, $f(2)=-3$, $f\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{125}{8}-\frac{75}{4}+1=\frac{125-150+8}{8}=-\frac{17}{8}$. Giá trị nhỏ nhất bằng $-3$, không lớn hơn $-3$ → SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x(x-2)<0$ trên $(0;2)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng này, không đồng biến trên tập xác định.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt $x=0$ (cực đại) và $x=2$ (cực tiểu).
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=1>0$ và $f(2)=-3<0$, hàm liên tục nên theo định lý giá trị trung gian, đồ thị luôn cắt trục hoành.
d) (AI giải đề cho tôi)
So sánh $f(-1)=-3$, $f(0)=1$, $f(2)=-3$, $f\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{125}{8}-\frac{75}{4}+1=-\frac{17}{8}$; giá trị nhỏ nhất bằng $-3$, không lớn hơn $-3$.