Cho hàm số $y=\frac{2x+7}{x+2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+7}{x+2}=2+\frac{3}{x+2}$. a) Sai: điều kiện $x+2\ne 0$ nên $D=\mathbb{R}\setminus \{-2\}$, không phải $D=\mathbb{R}$. b) Đúng: $y^{\prime }=\frac{2(x+2)-(2x+7)}{(x+2{)}^2}=\frac{-3}{(x+2{)}^2}$ với $x\ne -2$. c) Đúng: vì $y^{\prime }<0$... chú ý $y^{\prime }=\frac{-3}{(x+2{)}^2}<0$? Kiểm tra lại: $(x+2{)}^2>0$ nên $y^{\prime }<0$, hàm nghịch biến trên mỗi nhánh. Tuy nhiên bảng biến thiên trong hình vẽ thể hiện $y^{\prime }$ mang dấu '+' và hàm đồng biến (mũi tên đi lên từ 2 đến $+\infty$ trên nhánh trái, từ $-\infty$ đến 2 trên nhánh phải) — điều này mâu thuẫn với đạo hàm âm. Xét lại: $y=\frac{2x+7}{x+2}$, tại $x\to -2^{-}$, $y\to +\infty$; tại $x\to -2^{+}$, $y\to -\infty$; giới hạn khi $x\to \pm \infty$ là 2. Nhánh trái đi từ 2 (khi $x\to -\infty$) đến $+\infty$ (khi $x\to -2^{-}$): hàm đồng biến; nhánh phải đi từ $-\infty$ đến 2: đồng biến. Vậy thực chất $y^{\prime }=\frac{2(x+2)-(2x+7)}{(x+2{)}^2}=\frac{-3}{(x+2{)}^2}$ — tính lại tử số: $2x+4-2x-7=-3$, đúng, và $-3<0$ nên hàm phải nghịch biến. Mâu thuẫn này cho thấy cần tính lại: thực tế $y=2+\frac{3}{x+2}$, đạo hàm $-\frac{3}{(x+2{)}^2}<0$, hàm nghịch biến: nhánh trái từ $+\infty$ (gần $x=-2^{-}$) xuống 2; nhánh phải từ 2 xuống $-\infty$. Bảng biến thiên đúng phải có dấu '−' và mũi tên đi xuống. Hình vẽ trong đề (dấu '+', mũi tên đi lên) là SAI so với hàm số. Vậy c) Sai. d) Tiệm cận đứng $x=-2$, tiệm cận ngang $y=2$, nên $I(-2;2)$. Khoảng cách $d(I,\Delta )=\frac{|3(-2)-4(2)-1|}{\sqrt{9+16}}=\frac{|-15|}{5}=3$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \{-2\}$ vì mẫu $x+2\ne 0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{2(x+2)-(2x+7)}{(x+2{)}^2}=\frac{-3}{(x+2{)}^2}$, đúng với mọi $x\ne -2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $y^{\prime }=\frac{-3}{(x+2{)}^2}<0$ nên hàm nghịch biến trên mỗi nhánh: nhánh trái đi từ $+\infty$ xuống 2, nhánh phải đi từ 2 xuống $-\infty$. Hình vẽ thể hiện dấu '+' và hàm đồng biến nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận: $x=-2$ và $y=2$, giao điểm $I(-2;2)$. Khoảng cách $d=\frac{|3(-2)-4(2)-1|}{5}=\frac{15}{5}=3$, đúng.