Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(3\sqrt{x})$ được cho trong hình bên:

Hàm số $g(x)=\left|f(x)-\frac{1}{8}{x}^4-x\right|$ có tối đa bao nhiêu điểm cực đại?

Đặt $h(x)=f(x)-\frac{1}{8}{x}^4-x$.
Ta có: $h^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-\frac{1}{2}{x}^3-1\Rightarrow h^{\prime }(x)=0\iff f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}{x}^3+1$.
Đặt $x=3\sqrt{t}$. Khi đó phương trình trở thành $f^{\prime }(3\sqrt{t})=\frac{1}{2}t+1$.

Từ đồ thị ta thấy phương trình có 3 nghiệm: $\left[\begin{array}{c}t=-2\\ t=0\\ t=2\end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}x=\sqrt[3]{-2}\\ x=0\\ x=\sqrt[3]{2}\end{array}\right]$.
Bảng biến thiên của hàm số $y=h(x)$:

Khi đó, hàm số $g(x)=|h(x)|$ có số điểm cực đại nhiều nhất $\iff h(x)=0$ có 4 nghiệm phân biệt.
Vậy hàm số $g(x)=|h(x)|$ có tối đa 3 điểm cực đại.