Cho hàm số $y=f^{\prime }(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ.



Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $g(x)=2f(1-x)+x^2-2x+1$ trên đoạn $[1;5]$?

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=1-x$, khi $x\in [1;5]$ thì $t\in [-4;0]$. Ta có $g^{\prime }(x)=-2f^{\prime }(1-x)+2x-2=-2[f^{\prime }(t)+t]$. Xét $h(t)=f^{\prime }(t)+t$ trên $[-4;0]$. Từ đồ thị của $f^{\prime }$: $f^{\prime }(-3)=3$ nên $h(-3)=0$; đồ thị đi xuống từ trái qua điểm cực tiểu $-5$ (khoảng $t\approx -1$) rồi tăng lên $f^{\prime }(1)=-1$, do đó với $t\in (-3;0]$ thì $f^{\prime }(t)<-t$ (ví dụ $h(-1)=-5-1=-6<0$, $h(0)<0$), còn với $t\in [-4;-3)$ thì $f^{\prime }(t)>-t$ (vì $f^{\prime }$ tăng vọt lên trên $3$ khi $t<-3$). Vậy $h(t)<0$ trên $(-3;0]$ và $h(t)>0$ trên $[-4;-3)$, suy ra $g^{\prime }(x)>0$ khi $x<4$ và $g^{\prime }(x)<0$ khi $x>4$. Hàm số $g$ đồng biến trên $[1;4]$ và nghịch biến trên $[4;5]$, nên ${\max }_{[1;5]}g(x)=g(4)$. Đáp án D.