Cho hàm số $y=\frac{x^2-3x+6}{x-1}$ có đồ thị $(C)$.

(AI giải đề cho tôi)
$y=\frac{x^2-3x+6}{x-1}$. a) $y^{\prime }=\frac{(2x-3)(x-1)-(x^2-3x+6)}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x-3}{(x-1{)}^2}$ → đúng. b) TXĐ là $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$ → sai. c) Nghịch biến khi $x^2-2x-3<0\iff -1<x<1$, $x\ne 1$, tức khoảng $(-1;1)$ chỉ chứa số nguyên $0$ (1 số nguyên) → sai. d) $y=x-2+\frac{4}{x-1}$: tiệm cận $x=1$, $y=x-2$, tâm đối xứng $I(1;-1)$. Tại $x=2$: $y=4$, $y^{\prime }=-3$, tiếp tuyến $y=-3x+10$. Cắt $x=1$ tại $A(1;7)$; cắt $y=x-2$ tại $B(3;1)$. $AB=\sqrt{4+36}=2\sqrt{10}$; khoảng cách từ $I$ đến $-3x-y+10=0$ là $\frac{8}{\sqrt{10}}$; $S=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{10}\cdot \frac{8}{\sqrt{10}}=8\ne 12$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tính đạo hàm theo quy tắc thương được $y^{\prime }=\frac{x^2-2x-3}{(x-1{)}^2}$, khớp đề bài.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mẫu $x-1\ne 0$ nên $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nghịch biến trên $(-1;1)$ (loại $x=1$), chỉ chứa số nguyên $0$: 1 số nguyên, không phải 5.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến tại $x=2$ là $y=-3x+10$, cắt hai tiệm cận tại $A(1;7)$, $B(3;1)$; $I(1;-1)$; diện tích tam giác $IAB$ bằng 8, không phải 12.