Trong không gian $Oxyz$, cho 3 điểm $A(1;2;-1)$, $B(2;-1;3)$, $C(-4;7;5)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=(1;-3;4)$, $\overrightarrow{AC}=(-5;5;6)$, $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(-38;-26;20)\parallel (19;13;-10)$. Mặt phẳng: $19x+13y-10z-55=0$ (thay $A$: $19+26+10=55$). Phương trình trong đề $19x+13y+5z-40=0$ sai (thay $A$: $19+26-5-40=0$ đúng nhưng thay $B$: $38-13+15-40=0\ne 0$... thực tế thay $B$: $38-13+15-40=0$; thay $C$: $-76+91+25-40=0$; kiểm tra lại: $B(2;-1;3)$: $38-13+15-40=0$; $C(-4;7;5)$: $-76+91+25-40=0$; $A$: $19+26-5-40=0$ — cả ba điểm đều thỏa? Kiểm tra lại tích có hướng: ${\vec{n}}_x=(-3)(6)-(4)(5)=-38$, ${\vec{n}}_y=(4)(-5)-(1)(6)=-26$, ${\vec{n}}_z=(1)(5)-(-3)(-5)=5-15=-10$. Vậy pháp tuyến đúng là $(19;13;-10)$, không phải $(19;13;5)$. Mặt phẳng qua 3 điểm không cộng tuyến là duy nhất nên $19x+13y+5z-40=0$ chỉ đúng nếu các điểm thỏa — kiểm tra $A$: $19+26-5-40=0$ ✓; $B$: $38-13+15-40=0$ ✓; $C$: $-76+91+25-40=0$ ✓. Nhưng hai mặt phẳng phân biệt không thể cùng qua 3 điểm không thẳng hàng. Kiểm tra lại $\vec{n}=(19;13;5)$ với $\overrightarrow{AB}$: $19-39+20=0$ ✓; với $\overrightarrow{AC}$: $-95+65+30=0$ ✓. Vậy $(19;13;5)$ cũng vuông góc cả hai vectơ — tính lại tích có hướng: ${\vec{n}}_z=(1)(5)-(-3)(-5)=5-15=-10$? $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}$ thành phần $z$ là $1\cdot 6-(-3)(-5)=6-15=-9$. Tính lại chuẩn: $\overrightarrow{AB}=(1,-3,4)$, $\overrightarrow{AC}=(-5,5,6)$: $n_x=(-3)(6)-(4)(5)=-18-20=-38$; $n_y=(4)(-5)-(1)(6)=-20-6=-26$; $n_z=(1)(5)-(-3)(-5)=5-15=-10$. Vậy $\vec{n}=(-38;-26;-10)\parallel (19;13;5)$. Tôi nhầm trước đó ($n_z=-10$ chứ không phải $20$). Vậy mặt phẳng đúng là $19x+13y+5z-40=0$ → ý a ĐÚNG.
b) Thay $A(1;2;-1)$: $2(1)-3(2)+5(-1)-9=2-6-5-9=-18\ne 0$ → SAI.
c) $2MA=3MB\iff MA/MB=3/2$: quỹ tích là mặt cầu Apollonius với tâm $I=\frac{A-k^{2}B}{1-k^2}$, $k=3/2$: $I=\frac{2,25B-A}{1,25}=(2,8;-3,4;6,2)$, bán kính $r=\frac{kAB}{|1-k^2|}=\frac{1,5\sqrt{26}}{1,25}=1,2\sqrt{26}\approx 6,119$. $CI=\sqrt{6,8^2+(-10,4{)}^2+1,2^2}=\sqrt{155,84}\approx 12,484$. $M{C}_{\max }=CI+r\approx 18,6\ne 16,8$ → SAI.
d) Trọng tâm $G=\left(\frac{1+2-4}{3};\frac{2-1+7}{3};\frac{-1+3+5}{3}\right)=\left(-\frac{1}{3};\frac{8}{3};\frac{7}{3}\right)$ → ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(-38;-26;-10)\parallel (19;13;5)$, mặt phẳng qua $A$: $19x+13y+5z-40=0$, cả ba điểm đều thỏa.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $A(1;2;-1)$: $2-6-5-9=-18\ne 0$, nên $A$ không thuộc mặt phẳng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu Apollonius tâm $I(2,8;-3,4;6,2)$, $r=1,2\sqrt{26}\approx 6,119$, $CI\approx 12,484$, $M{C}_{\max }\approx 18,6\ne 16,8$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tọa độ trọng tâm: $\left(\frac{1+2-4}{3};\frac{2-1+7}{3};\frac{-1+3+5}{3}\right)=\left(-\frac{1}{3};\frac{8}{3};\frac{7}{3}\right)$.