Cho hàm số $y=-x^3+x^2+2x$ có đồ thị $(C)$. Hình phẳng $(H_1)$ được giới hạn bởi $(C)$, trục hoành, hai đường thẳng $x=-1,x=0$ và hình phẳng $(H_2)$ được giới hạn bởi $(C)$, trục hoành, hai đường thẳng $x=0,x=2$ (như hình vẽ).

(AI giải đề cho tôi)
$f(x)=-x^3+x^2+2x=x(x+1)(x-2)$, nghiệm $x=-1,0,2$. Nguyên hàm $F(x)=-\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}+x^2$.
a) Trên $[-1;0]$, $f(x)\le 0$ nên ${\int }_{-1}^{0}fdx=F(0)-F(-1)=-\frac{5}{12}<0$, không phải diện tích; diện tích phải là $S_1=-{\int }_{-1}^{0}fdx=\frac{5}{12}$. → Sai.
$S_1=\frac{5}{12}$; trên $[0;2]$, $f\ge 0$: $S_2=F(2)-F(0)=-4+\frac{8}{3}+4=\frac{8}{3}$.
b) $V=\pi {\int }_0^2{f}^{2}dx$ với $f^2=x^2(x-2{)}^2(x+1{)}^2=x^6-2x^5-3x^4+4x^3+4x^2$; nguyên hàm tại $x=2$: $\frac{128}{7}-\frac{64}{3}-\frac{96}{5}+16+\frac{32}{3}=\frac{1920-1120-2016+1680}{105}=\frac{464}{105}$, nên $V=\frac{464\pi }{105}$. → Đúng (khớp đáp án chính thức).
c) $S_1+S_2=\frac{5}{12}+\frac{32}{12}=\frac{37}{12}\ne \frac{9}{4}$. → Sai.
d) $6S_1=\frac{5}{2}=2,5<\frac{8}{3}\approx 2,67=S_2$. → Đúng.
Khớp đáp án mã 0112: a)S - b)Đ - c)S - d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Trên $[-1;0]$, $f(x)\le 0$ nên ${\int }_{-1}^{0}fdx=-\frac{5}{12}<0$, không phải diện tích; cần $S_1=-{\int }_{-1}^{0}fdx=\frac{5}{12}$. → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $V=\pi {\int }_0^2{x}^2(x-2{)}^2(x+1{)}^{2}dx=\frac{464\pi }{105}$. → Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $S_1=\frac{5}{12}$, $S_2=\frac{8}{3}$, tổng $=\frac{37}{12}\ne \frac{9}{4}$. → Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $S_2=\frac{8}{3}>\frac{5}{2}=6S_1$. → Đúng.