Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=(x+1)(x-3{)}^2$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=(x+1)(x-3{)}^2$. Vì $(x-3{)}^2\ge 0$ với mọi $x$, dấu của $f^{\prime }(x)$ do $(x+1)$ quyết định: $f^{\prime }(x)<0$ khi $x<-1$ và $f^{\prime }(x)>0$ khi $x>-1$ (riêng tại $x=3$ thì $f^{\prime }(3)=0$ nhưng không đổi dấu). a) Trên $(-\infty ;-1)$ có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm nghịch biến → Đúng. b) Trên $(-1;3)$ có $f^{\prime }(x)>0$ nên hàm đồng biến, không nghịch biến → Sai. c) và d) $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=-1$ nên $x=-1$ là điểm cực tiểu; tại $x=3$, $f^{\prime }$ không đổi dấu nên không phải cực trị. Vậy hàm có đúng một điểm cực trị → c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x<-1$: $(x+1)<0$ và $(x-3{)}^2>0$ nên $f^{\prime }(x)<0$, hàm nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\in (-1;3)$: $(x+1)>0$ và $(x-3{)}^2>0$ nên $f^{\prime }(x)>0$, hàm đồng biến chứ không nghịch biến. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }$ chỉ đổi dấu tại $x=-1$ (từ âm sang dương); tại $x=3$, $f^{\prime }$ không đổi dấu nên không phải cực trị. Hàm chỉ có một điểm cực trị, không phải hai. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$x=-1$ là điểm cực tiểu duy nhất vì $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=-1$; $x=3$ không phải cực trị. Đúng.