Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm như sau: $f^{\prime }(x)=(x-3)(x+3)(x-1{)}^2$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=(x-3)(x+3)(x-1{)}^2$. Xét dấu: $f^{\prime }(x)<0$ khi $x<-3$; $f^{\prime }(x)>0$ khi $x>-3$ (vì $(x-1{)}^2\ge 0$ và $(x-3)(x+3)>0$ khi $x>3$, $<0$ khi $-3<x<3$, nhưng dấu của $f^{\prime }$ trên $(-3;1)$ và $(1;3)$ đều dương do $(x-1{)}^2>0$ và $(x+3)>0$). Vậy $f$ nghịch biến trên $(-\infty ;-3)$ và đồng biến trên $(-3;+\infty )$; $f$ đạt cực tiểu (cũng là GTNN trên $\mathbb{R}$) tại $x=-3$, không có GTLN trên $\mathbb{R}$.

a) Trên đoạn $[-3;3]$, $f$ đồng biến nên GTLN là $f(3)$, không phải $f(-3)$. → Sai.

b) $f$ đồng biến trên $(-3;+\infty )$ và $f(x)\to +\infty$ khi $x\to +\infty$ (vì $f$ tăng lên vô hạn), nên hàm số không có GTLN trên $\mathbb{R}$. → Sai.

c) $g(x)=f(-2x+3)$, với $x\in [0;3]$ thì $t=-2x+3\in [-3;3]$. Trên $[-3;3]$, $f$ đồng biến nên $g$ nghịch biến theo $x$ (vì $-2x+3$ giảm). GTNN của $g$ đạt khi $t=-3$, tức $x=3$: $g(3)=f(-3)$. → Đúng.

d) $h(x)=f(-x+5)$, với $x\in [0;8]$ thì $t=-x+5\in [-3;5]$. Vì $f$ đồng biến trên $[-3;5]$ và $-x+5$ nghịch biến, $h$ nghịch biến trên $[0;8]$. Do đó GTLN của $h$ trên $[0;8]$ là $h(0)=f(5)$, còn $h(8)=f(-3)$ là GTNN. Điều kiện $h(0)+h(4)=h(2)+h(8)$ (tức $f(5)+f(1)=f(3)+f(-3)$) không làm thay đổi tính nghịch biến của $h$. → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[-3;3]$, $f$ đồng biến nên GTLN là $f(3)$, không phải $f(-3)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f$ đồng biến trên $(-3;+\infty )$, $f(x)\to +\infty$ khi $x\to +\infty$, nên không có GTLN trên $\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\in [0;3]$, $t=-2x+3\in [-3;3]$; $f$ đồng biến trên $[-3;3]$ nên $g$ nghịch biến, GTNN là $g(3)=f(-3)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$h(x)=f(-x+5)$ nghịch biến trên $[0;8]$ (vì $f$ đồng biến trên $[-3;5]$), nên GTLN là $h(0)=f(5)$, còn $h(8)=f(-3)$ là GTNN.