Cho hàm số $y=f(x)=\frac{x^2-2x+1}{x+4}$ có đồ thị $(C)$. Khi đó :

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2-2x+1}{x+4}=\frac{(x-1{)}^2}{x+4}=x-6+\frac{25}{x+4}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-4\}$.
a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(1-\frac{6}{x}+\frac{25}{x(x+4)}\right)=1\ne -1$ → Sai.
b) Vì $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(f(x)-(x-6)\right)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{25}{x+4}=0$ nên $y=x-6$ là tiệm cận xiên → Đúng.
c) Hàm số xác định khi $x+4\ne 0$, tức $D=\mathbb{R}\setminus \{-4\}$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{4\}$ → Sai.
d) $f^{\prime }(x)=\frac{(2x-2)(x+4)-(x-1{)}^2}{(x+4{)}^2}=\frac{(x-1)(x+9)}{(x+4{)}^2}$. Trên $(-\infty ;-4)$: $f^{\prime }>0$ khi $x<-9$, $f^{\prime }<0$ khi $-9<x<-4$, cực đại $f(-9)=\frac{100}{-5}=-20$; trên $(-4;+\infty )$: $f^{\prime }<0$ khi $-4<x<1$, $f^{\prime }>0$ khi $x>1$, cực tiểu $f(1)=0$; các giới hạn vô cực tại $-4$ và $\pm \infty$ khớp bảng biến thiên → Đúng. Kết quả khớp đáp án mã đề 2102: a) S, b) Đ, c) S, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2-2x+1}{x^2+4x}=1\ne -1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=x-6+\frac{25}{x+4}$ và $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{25}{x+4}=0$ nên $y=x-6$ là tiệm cận xiên.
c) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $x+4\ne 0$ nên $D=\mathbb{R}\setminus \{-4\}$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{4\}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{(x-1)(x+9)}{(x+4{)}^2}$; cực đại tại $x=-9$ với $f(-9)=-20$, cực tiểu tại $x=1$ với $f(1)=0$, tiệm cận đứng $x=-4$; bảng biến thiên trong đề khớp hoàn toàn.