Cho hàm số $y=f(x)=\frac{\cos x+m^2+3m}{\cos x+2}$ ($m$ là tham số thực). Hàm số $y=f(x)$ đạt giá trị lớn nhất trên đoạn $[0;\pi ]$ là $M$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa $M\le -1$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=\cos x\in [-1;1]$, khi đó $f(t)=\frac{t+m^2+3m}{t+2}$ với $t\in [-1;1]$ (mẫu $t+2>0$). Xét $f^{\prime }(t)=\frac{(t+2)-(t+m^2+3m)}{(t+2{)}^2}=\frac{2-m^2-3m}{(t+2{)}^2}$.

TH1: $m^2+3m<2$ thì $f^{\prime }(t)>0$, hàm đồng biến, max tại $t=1$: $M=\frac{m^2+3m+1}{3}$. Yêu cầu $M\le -1\iff m^2+3m+4\le 0$, vô nghiệm vì $\Delta =9-16<0$.

TH2: $m^2+3m>2$ thì $f^{\prime }(t)<0$, hàm nghịch biến, max tại $t=-1$: $M=m^2+3m-1$. Yêu cầu $M\le -1\iff m^2+3m\le 0\iff m\in [-3;0]$. Nhưng TH2 cần $m^2+3m\ge 2$, tức $m\le \frac{-3-\sqrt{17}}{2}\approx -3,56$ hoặc $m\ge \frac{-3+\sqrt{17}}{2}\approx 0,56$, không giao với $[-3;0]$.

TH3: $m^2+3m=2$ thì $f$ hằng bằng $m^2+3m-1=1>-1$, không thỏa.

Vậy không có giá trị nguyên nào của $m$ thỏa mãn. Đáp số: $0$.