Cho hàm số $y=f(x)=a{x}^4+b{x}^2+c$ có đồ thị như hình vẽ và thỏa mãn đẳng thức sau: $f(x+1)-f(x)=2x(2x+1)(x+1)$. Cho hàm số $g(x)=m{x}^2+nx+p$ và $f(x)=g(x^2-1)$. Tìm nghiệm của phương trình $g^{\prime }(x)=0$.

(1 điểm) Tìm tất cả các đa thức thỏa $(x-8)P(x+1)=8(x-1)P(x)\forall x\in \mathbb{R}$.

Cho $n\ge 2$ là số nguyên dương. Xét các đa thức $f(x),g(x),h(x)$ hệ số thực có bậc không vượt quá $n$. Một số thực $x_0$ được gọi là tốt nếu các giá trị $f(x_0),g(x_0),h(x_0)$ tạo thành một cấp số cộng theo một thứ tự bất kì nào đó. Giả sử rằng chỉ có hữu hạn số tốt như vậy.

a) Chứng minh rằng số lượng số tốt không vượt quá $3n$.

b) Hãy xây dựng bộ ba đa thức $f(x),g(x),h(x)$ thoả mãn có $3n$ số tốt.

Cho đa thức $P(x)=x^n+a_1{x}^{n-1}+\dots +a_{n-1}x+a_n$, với $a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n$ là các số thực và $n$ là số nguyên dương lẻ. Biết rằng $P(0)+P(1)=0$ và $P(x)$ có $n$ nghiệm thực $r_1,r_2,\dots ,r_n$ thuộc $\left[0;1\right]$. Tìm giá trị lớn nhất của $Q=\prod _{i=1}^n{r}_i$ theo $n$.

Xét một đa thức $f(x)$ với hệ số hữu tỉ có bậc lớn hơn hoặc bằng 1 thỏa mãn: với mỗi số nguyên dương $n$, tồn tại số hữu tỉ $r_n$ khác $n$ sao cho $f(r_n)=f(n)$.

a) Chứng minh bậc của $f(x)$ là số nguyên dương chẵn và tồn tại hằng số $c$ sao cho $|r_n|\le c.n$ với mọi số nguyên dương $n$.

b) Chứng minh tồn tại số hữu tỉ $q$ sao cho $f(x)=f(q-x)$ với mọi số hữu tỉ $x$.

Một đa thức $P(x)$ hệ số thực được gọi là đa thức tốt nếu với mọi số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=3$ thì ta đều có:
$$P(x)+P(y)+P(z)\ge 3P(1).$$
(1) Tìm tất cả các đa thức tốt $P(x)$ có bậc không vượt quá 2.
(2) Gọi bậc của đa thức tốt $P(x)$ là $n$. Chứng minh rằng nếu $n>2$ thì $n$ là số chẵn.

Xét đa thức $P(x)$ hệ số thực thoả mãn
$$P(x)\left[P\left(x^2\right)-x\right]=P\left(x^3\right),\forall x\in \mathbb{R}.(1)$$
a) Giả sử $P(x)$ có $\mathrm{deg}P\ge 1$ thoả mãn (1). Tính $P(0)$.
b) Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thoả mãn (1).