Cho hàm số $y=x-1+\frac{4}{x-1}$ có đồ thị $(C)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x-1+\frac{4}{x-1}$ có điều kiện $x\ne 1$ nên tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$, do đó a) Sai. Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{4}{x-1}=0$ nên tiệm cận xiên là $y=x-1$, b) Đúng. Ta có $y^{\prime }=1-\frac{4}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-1{)}^2-4}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1{)}^2}$; trên $(-1;3)$ (loại $x=1$) ta có $y^{\prime }<0$ trên $(-1;1)$ và $(1;3)$ nhưng hàm không liên tục tại $x=1$, nên không thể nói nghịch biến trên cả khoảng $(-1;3)$, c) Sai. Tâm đối xứng của $(C)$ là giao của hai tiệm cận $x=1$ và $y=x-1$, tức $I(1;0)$, không phải $I(1;1)$, d) Sai. Kết quả: a) S, b) Đ, c) S, d) S, khớp đáp án mã đề 1201 (SDSS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số có mẫu $x-1$ nên yêu cầu $x\ne 1$; tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$, không phải $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{4}{x-1}=0$ nên đồ thị $(C)$ có tiệm cận xiên $y=x-1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=1-\frac{4}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1{)}^2}$. Trên $(-1;3)$, $y^{\prime }<0$ trên $(-1;1)$ và $(1;3)$ nhưng hàm số không xác định tại $x=1$ nên không nghịch biến trên cả khoảng $(-1;3)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng của $(C)$ là giao điểm của tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận xiên $y=x-1$, tức là $I(1;0)$, không phải $I(1;1)$.