Cho hàm số $y=x^3-6x^2+9x-1$. Xét tính đúng – sai của các mệnh đề sau:

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=x^3-6x^2+9x-1$, ta có $y^{\prime }=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$. Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;1)$ và $(3;+\infty )$, nghịch biến trên $(1;3)$. Cực đại tại $x=1$: $y_{CD}=1-6+9-1=3$; cực tiểu tại $x=3$: $y_{CT}=27-54+27-1=-1$. a) Bảng biến thiên trong hình (đồng biến đến $x=1$ đạt $3$, nghịch biến đến $x=3$ đạt $-1$, rồi đồng biến lên $+\infty$) khớp với tính toán → đúng. b) Trên $(1;2)\subset (1;3)$ hàm số nghịch biến → đúng. c) $y_{CD}+3y_{CT}=3+3(-1)=0\ne -1$ → sai. d) Đường thẳng qua hai điểm cực trị $(1;3)$ và $(3;-1)$ có hệ số góc $\frac{-1-3}{3-1}=-2$, phương trình $y=-2x+5$. Tại $x=0$ thì $y=5\ne 4$, nên $A(0;4)$ không thuộc đường thẳng này → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3(x-1)(x-3)$; hàm đồng biến trên $(-\infty ;1),(3;+\infty )$, nghịch biến trên $(1;3)$, $y_{CD}=3$ tại $x=1$, $y_{CT}=-1$ tại $x=3$, khớp bảng biến thiên trong hình.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $(1;2)\subset (1;3)$ và $y^{\prime }<0$ trên $(1;3)$ nên hàm số nghịch biến trên $(1;2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y_{CD}=3$, $y_{CT}=-1$ nên $y_{CD}+3y_{CT}=3-3=0\ne -1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $(1;3)$ và $(3;-1)$ là $y=-2x+5$; tại $x=0$ có $y=5\ne 4$ nên $A(0;4)$ không thuộc đường thẳng này.