Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a\sqrt{2}$, cạnh bên bằng $2a$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp đều S.ABCD, cạnh đáy $a\sqrt{2}$, cạnh bên $2a$. Gọi O tâm đáy: $AC=2a\Rightarrow OA=a$, chiều cao $SO=\sqrt{S{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{4a^2-a^2}=a\sqrt{3}$.
a) $BD\perp AC$ (hai đường chéo hình vuông) và $BD\perp SO$ (vì $SO\perp (ABCD)$) $\Rightarrow BD\perp (SAC)$. Đúng.
b) Góc giữa cạnh bên và đáy là $\widehat{SAO}$: $\tan \widehat{SAO}=\frac{SO}{OA}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}\Rightarrow 60^{\circ }$. Đúng.
c) Góc giữa mặt bên và đáy là góc giữa SM (M trung điểm BC) và OM, $OM=\frac{a\sqrt{2}}{2}$: $\tan \alpha =\frac{a\sqrt{3}}{a\sqrt{2}/2}=\sqrt{6}\Rightarrow \alpha \approx 67,8^{\circ }\ne 45^{\circ }$. Sai.
d) Tọa độ $A(0,0,0),B(a\sqrt{2},0,0),C(a\sqrt{2},a\sqrt{2},0),S\left(\frac{a\sqrt{2}}{2},\frac{a\sqrt{2}}{2},a\sqrt{3}\right)$. Pháp tuyến $(SAB)$: $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AS}=(0,-a^2\sqrt{6},a^2)$; pháp tuyến $(SBC)$: $\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{BS}=(a^2\sqrt{6},0,a^2)$. Tích vô hướng $=a^4\ne 0$, tức $\cos$ góc giữa hai mặt phẳng $=\frac{a^4}{a^2\sqrt{7}\cdot a^2\sqrt{7}}=\frac{1}{7}\ne 0$, nên $(SBC)$ không vuông góc $(SAB)$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
BD ⊥ AC và BD ⊥ SO nên BD ⊥ (SAC).
b) (AI giải đề cho tôi)
tan(SAO)=SO/OA=a√3/a=√3 ⇒ góc bằng 60°.
c) (AI giải đề cho tôi)
tan α = SO/OM = a√3/(a√2/2)=√6 ⇒ α≈67,8° ≠ 45°.
d) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến (SAB)=(0,−a²√6,a²), pháp tuyến (SBC)=(a²√6,0,a²), tích vô hướng = a⁴ ≠ 0 (cos góc nhị diện = 1/7), nên hai mặt phẳng không vuông góc.