Cho hình chóp $S.ABC$ có $\widehat{ASB}=60^{\circ },\widehat{BSC}=90^{\circ },\widehat{CSA}=120^{\circ }$ và $SA=a,SB=2a,SC=5a$. Tính khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(SAB)$.

Áp dụng công thức thể tích khối chóp tam giác biết các cạnh bên và góc ở đỉnh:
$V_{S.ABC}=\frac{1}{6}SA\cdot SB\cdot SC\sqrt{1+2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -{\cos }^2\alpha -{\cos }^2\beta -{\cos }^2\gamma }$,
với $\alpha =60^{\circ },\beta =90^{\circ },\gamma =120^{\circ }$.
Ta có $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2},\cos 90^{\circ }=0,\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$.
Biểu thức dưới căn:
$1+0-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-0^2-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2=1-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$.
Do đó:
$V_{S.ABC}=\frac{1}{6}\cdot a\cdot 2a\cdot 5a\cdot \sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{10a^3}{6\sqrt{2}}=\frac{5a^3\sqrt{2}}{6}$.
Mặt khác, diện tích tam giác $SAB$ là:
$S_{△SAB}=\frac{1}{2}SA\cdot SB\cdot \sin \widehat{ASB}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot 2a\cdot \sin 60^{\circ }=a^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$.
Khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(SAB)$ là:
$d(C,(SAB))=\frac{3V_{S.ABC}}{S_{△SAB}}=\frac{3\cdot \frac{5a^3\sqrt{2}}{6}}{\frac{a^2\sqrt{3}}{2}}=\frac{\frac{5a^3\sqrt{2}}{2}}{\frac{a^2\sqrt{3}}{2}}=\frac{5a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{5a\sqrt{6}}{3}$.