Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác có $AB=3a,AC=4a,\widehat{BAC}=60^{\circ }$. Hình chiếu vuông góc của $S$ lên $(ABC)$ trùng với trung điểm $O$ của cạnh $AC$. Cho biết $SO=a\sqrt{5}$.

a) Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên đường thẳng $AB$. Chứng minh rằng $(SAB)\perp (SOH)$. (1.0 điểm)

b) Xác định và tính góc giữa đường thẳng $SH$ và $(ABC)$. (1.0 điểm)

c) Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng $SB,SC$. Tính khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(OIJ)$. (1.0 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(3a;0;0)$, $C(2a;2a\sqrt{3};0)$ (vì $AC=4a$, $\widehat{BAC}=60^{\circ }$). Trung điểm $O$ của $AC$ là $O(a;a\sqrt{3};0)$, và $S(a;a\sqrt{3};a\sqrt{5})$.

a) $H$ là hình chiếu của $O$ trên $AB$ nên $OH\perp AB$. Vì $SO\perp (ABC)$ nên $SO\perp AB$. Từ đó $AB\perp (SOH)$ (đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng). Mà $AB\subset (SAB)$ nên $(SAB)\perp (SOH)$. Đpcm.

b) $OH$ là khoảng cách từ $O$ đến $AB$: tam giác $AOH$ vuông tại $H$ có $\widehat{OAH}=60^{\circ }$, $AO=2a$ nên $OH=AO\sin 60^{\circ }=a\sqrt{3}$. Vì $SO\perp (ABC)$ nên $HO$ là hình chiếu của $HS$ trên $(ABC)$, suy ra góc giữa $SH$ và $(ABC)$ là $\widehat{SHO}$. Tam giác $SOH$ vuông tại $O$: $SH=\sqrt{S{O}^2+O{H}^2}=\sqrt{5a^2+3a^2}=2a\sqrt{2}$; $\tan \widehat{SHO}=\frac{SO}{OH}=\frac{a\sqrt{5}}{a\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{15}}{3}$. Vậy góc cần tìm bằng $\arctan \frac{\sqrt{15}}{3}\approx 52^{\circ }14^{\prime }$.

c) $I$ trung điểm $SB$: $I(2a;\frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{a\sqrt{5}}{2})$; $J$ trung điểm $SC$: $J(\frac{3a}{2};\frac{3a\sqrt{3}}{2};\frac{a\sqrt{5}}{2})$.
Vectơ pháp tuyến của $(OIJ)$: $\vec{n}=\overrightarrow{OI}\times \overrightarrow{OJ}$ với $\overrightarrow{OI}=(a;-\frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{a\sqrt{5}}{2})$, $\overrightarrow{OJ}=(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{a\sqrt{5}}{2})$, cho $\vec{n}\propto (-2\sqrt{15};-\sqrt{5};3\sqrt{3})$.
Mặt phẳng $(OIJ)$: $-2\sqrt{15}(x-a)-\sqrt{5}(y-a\sqrt{3})+3\sqrt{3}z=0$.
Thay $C(2a;2a\sqrt{3};0)$: $|-2a\sqrt{15}-a\sqrt{15}|=3a\sqrt{15}$; mẫu số $\sqrt{60+5+27}=\sqrt{92}=2\sqrt{23}$.
Vậy $d(C,(OIJ))=\frac{3a\sqrt{15}}{2\sqrt{23}}=\frac{3a\sqrt{345}}{46}$.