Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Biết $SA=\frac{3a}{2}$ và $SA$ vuông góc với mặt đáy. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SM$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABC$ đều, $M$ trung điểm $BC$ nên $AM\perp BC$; lại có $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Suy ra $BC\perp (SAM)$ (a đúng). Từ đó $BC\perp AH$ (vì $AH\subset (SAM)$), kết hợp $AH\perp SM$ (giả thiết) nên $AH\perp (SBC)$, do đó hình chiếu của $SA$ lên $(SBC)$ là $SH$ (b đúng). Giao tuyến của $(SBC)$ và $(ABC)$ là $BC$, mà $BC\perp (SAM)$ nên góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa $SM$ và $AM$, tức góc $SMA$, không phải góc $ASM$ (c sai). Tam giác $SAM$ vuông tại $A$ với $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, $SA=\frac{3a}{2}$ nên $\tan \widehat{SMA}=\frac{SA}{AM}=\frac{3a/2}{a\sqrt{3}/2}=\sqrt{3}$, suy ra góc nhị diện $[S;BC;A]=\widehat{SMA}=60^{\circ }$ (d đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
$AM\perp BC$ (tam giác đều) và $SA\perp BC$ (vì $SA\perp (ABC)$), nên $BC\perp (SAM)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$BC\perp (SAM)$ nên $BC\perp AH$; kết hợp $AH\perp SM$ suy ra $AH\perp (SBC)$. Hình chiếu của $A$ trên $(SBC)$ là $H$, nên hình chiếu của $SA$ là $SH$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giao tuyến là $BC$ và $BC\perp (SAM)$, nên góc giữa $(SBC)$ và $(ABC)$ là góc $SMA$, không phải góc $ASM$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\tan \widehat{SMA}=\frac{SA}{AM}=\frac{3a/2}{a\sqrt{3}/2}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SMA}=60^{\circ }$.