Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=1,SB=2,SC=3$ và $\widehat{ASB}=60^{\circ },\widehat{BSC}=120^{\circ },\widehat{CSA}=90^{\circ }$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$.

Trên các tia $SB,SC$ lần lượt lấy các điểm $B^{\prime },C^{\prime }$ sao cho $S{B}^{\prime }=S{C}^{\prime }=1$.

Khi đó tam giác $SA{B}^{\prime }$ có $SA=S{B}^{\prime }=1,\widehat{AS{B}^{\prime }}=60^{\circ }\Rightarrow A{B}^{\prime }=1$.
Tam giác $SA{C}^{\prime }$ vuông tại $S$ có $SA=S{C}^{\prime }=1\Rightarrow A{C}^{\prime }=\sqrt{2}$.
Tam giác $S{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $S{B}^{\prime }=S{C}^{\prime }=1,\widehat{B^{\prime }S{C}^{\prime }}=120^{\circ }\Rightarrow B^{\prime }{C}^{\prime }=\sqrt{1^2+1^2-2\cdot 1\cdot 1\cdot \cos 120^{\circ }}=\sqrt{3}$.

Xét tam giác $A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có:
$A{B}^{\prime 2}+A{C}^{\prime 2}=1^2+(\sqrt{2}{)}^2=3=B^{\prime }{C}^{\prime 2}$
Do đó $△A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ vuông tại $A$.

Tứ diện $S.A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $SA=S{B}^{\prime }=S{C}^{\prime }=1$, hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp $△A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ (tức là trung điểm $H$ của cạnh huyền $B^{\prime }{C}^{\prime }$).
Ta có:
$AH=\frac{1}{2}{B}^{\prime }{C}^{\prime }=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow SH=\sqrt{S{A}^2-A{H}^2}=\sqrt{1-\frac{3}{4}}=\frac{1}{2}$
$S_{△A{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}A{B}^{\prime }\cdot A{C}^{\prime }=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot \sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$V_{S.A{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{1}{3}SH\cdot S_{△A{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{12}$

Áp dụng tỉ số thể tích:
$\frac{V_{S.ABC}}{V_{S.A{B}^{\prime }{C}^{\prime }}}=\frac{SA}{SA}\cdot \frac{SB}{S{B}^{\prime }}\cdot \frac{SC}{S{C}^{\prime }}=1\cdot \frac{2}{1}\cdot \frac{3}{1}=6$
$\Rightarrow V_{S.ABC}=6\cdot V_{S.A{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=6\cdot \frac{\sqrt{2}}{12}=\frac{\sqrt{2}}{2}$