Cho hình chóp $S.ABC$ có: $SA\perp (ABC)$, $SB=BC=a\sqrt{2}$, $\widehat{BSC}=45^{\circ }$, $\widehat{ASB}=\alpha$. $\Delta ABC$ vuông tại $B$. Xác định $\sin \alpha$ để góc nhị diện $[A,SC,B]=45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác SBC có SB=BC=a√2 nên cân tại B, góc S=45° ⇒ góc C=45°, góc B=90°, SC=2a. Vì SA⊥(ABC): SA⊥AB, SA⊥BC; lại BC⊥AB (ABC vuông tại B) ⇒ BC⊥(SAB) và BC⊥SC. Kẻ AH⊥SC tại H thì AH⊥BC ⇒ AH⊥(SBC). Góc nhị diện [A,SC,B] là góc AHB=45°. Tam giác ABH vuông tại A (AH⊥(SBC)⇒AH⊥AB) nên AB=AH. Trong tam giác SAC vuông tại A: AH = SA·AC/SC. Đặt AB=x, SA=y: x²+y²=SB²=2a², AC²=x²+2a². Điều kiện x = y√(x²+2a²)/(2a) ⇒ 4a²x² = (2a²−x²)(x²+2a²) = 4a⁴−x⁴ ⇒ x⁴+4a²x²−4a⁴=0 ⇒ x²=2a²(√2−1), y²=2a²(2−√2). Suy ra tan²α = x²/y² = (√2−1)/(2−√2) = 1/√2 (vì 2−√2=√2(√2−1)). Do đó sin²α = (1/√2)/(1+1/√2) = 1/(√2+1) = √2−1, tức sinα = √(√2−1) ≈ 0,6436. Kiểm tra lại: các bước hình học và đại số đều nhất quán, kết quả thỏa 0<sinα<1.