Cho hình chóp đáy vuông tại , vuông góc tại ; . Xác định và tính góc giữa các cặp đường thẳng và mặt phẳng sau:
a) với .
b) với .
c) với . Với là đường cao trong
d) Biết là đường cao trong tam giác , xác định và tính góc giữa và
Cho hình chóp đáy vuông tại , vuông góc tại ; . Xác định và tính góc giữa các cặp đường thẳng và mặt phẳng sau:
a) với .
b) với .
c) với . Với là đường cao trong
d) Biết là đường cao trong tam giác , xác định và tính góc giữa và
a) với .
b) với .
c) với . Với là đường cao trong
d) Biết là đường cao trong tam giác , xác định và tính góc giữa và
Đáp án chính thức: Tự luận
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp S.ABC: SA ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông tại C, AC = a, AB = 2a nên BC = √(AB² − AC²) = √3·a; tam giác ABC có sin∠BAC = BC/AB = √3/2 nên ∠BAC = 60°, ∠ABC = 30°. Tam giác SAC vuông tại A với SA = AC = a nên SC = a√2, các góc ∠SCA = ∠CSA = 45°.
a) Góc với mặt phẳng (ABC):
- SA ⊥ (ABC) nên góc giữa SA và (ABC) bằng 90°.
- SC có hình chiếu lên (ABC) là AC, góc = ∠SCA = 45°.
- SB có hình chiếu lên (ABC) là AB, góc = ∠SBA với tan∠SBA = SA/AB = a/(2a) = 1/2, vậy góc = arctan(1/2) ≈ 26°33′.
b) Góc với mặt phẳng (SAC):
- Vì BC ⊥ AC (giả thiết) và BC ⊥ SA (SA ⊥ (ABC)) nên BC ⊥ (SAC), góc giữa BC và (SAC) bằng 90°.
- BA có hình chiếu lên (SAC) là CA, góc = ∠BAC = 60°.
- Vì BC ⊥ (SAC) nên hình chiếu của B lên (SAC) là C, hình chiếu của BS là CS; góc = ∠BSC. Tam giác SBC có SB = √(SA² + AB²) = √5·a, SC = a√2, BC = a√3, nên cos∠BSC = (SB² + SC² − BC²)/(2·SB·SC) = (5 + 2 − 3)/(2√10) = √10/5, góc = arccos(√10/5) ≈ 50°46′.
c) Góc với mặt phẳng (SAB), CH là đường cao của ΔABC:
- CH ⊥ AB và CH ⊥ SA (vì SA ⊥ (ABC)) nên CH ⊥ (SAB), góc giữa CH và (SAB) bằng 90°.
- Vì CH ⊥ (SAB) nên H là hình chiếu của C lên (SAB). Trong ΔABC vuông tại C: AH = AC·cos∠BAC = a/2, CH = a√3/2, BH = AB − AH = 3a/2.
- CA: góc = ∠CAH, tan∠CAH = CH/AH = √3 nên góc = 60°.
- CB: góc = ∠CBH, tan∠CBH = CH/BH = (a√3/2)/(3a/2) = √3/3 nên góc = 30°.
- CS: góc = ∠CSH với SH = √(SA² + AH²) = a√5/2, CS = a√2, CH = a√3/2; cos∠CSH = (CS² + SH² − CH²)/(2·CS·SH) = (2 + 5/4 − 3/4)/(√10) = √10/4, góc = arccos(√10/4) ≈ 37°46′.
d) AK là đường cao của ΔSAC từ A; vì SA = AC nên K là trung điểm SC, AK = (SA·AC)/SC = a/√2, SK = a√2/2 = a/√2.
- AK ⊥ SC và AK ⊥ BC (vì BC ⊥ (SAC) ⊃ AK) nên AK ⊥ (SBC): góc giữa AK và (SBC) bằng 90°.
- Vì AK ⊥ (SBC) nên K là hình chiếu của A lên (SBC).
- AS: góc = ∠ASK; tam giác AKS vuông tại K có AK = SK = a/√2 nên ∠ASK = 45°.
- AC: góc = ∠ACK = ∠ACS = 45° (vì K nằm trên SC, tam giác SAC cân tại A, ∠ACS = 45°).
Hình chóp S.ABC: SA ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông tại C, AC = a, AB = 2a nên BC = √(AB² − AC²) = √3·a; tam giác ABC có sin∠BAC = BC/AB = √3/2 nên ∠BAC = 60°, ∠ABC = 30°. Tam giác SAC vuông tại A với SA = AC = a nên SC = a√2, các góc ∠SCA = ∠CSA = 45°.
a) Góc với mặt phẳng (ABC):
- SA ⊥ (ABC) nên góc giữa SA và (ABC) bằng 90°.
- SC có hình chiếu lên (ABC) là AC, góc = ∠SCA = 45°.
- SB có hình chiếu lên (ABC) là AB, góc = ∠SBA với tan∠SBA = SA/AB = a/(2a) = 1/2, vậy góc = arctan(1/2) ≈ 26°33′.
b) Góc với mặt phẳng (SAC):
- Vì BC ⊥ AC (giả thiết) và BC ⊥ SA (SA ⊥ (ABC)) nên BC ⊥ (SAC), góc giữa BC và (SAC) bằng 90°.
- BA có hình chiếu lên (SAC) là CA, góc = ∠BAC = 60°.
- Vì BC ⊥ (SAC) nên hình chiếu của B lên (SAC) là C, hình chiếu của BS là CS; góc = ∠BSC. Tam giác SBC có SB = √(SA² + AB²) = √5·a, SC = a√2, BC = a√3, nên cos∠BSC = (SB² + SC² − BC²)/(2·SB·SC) = (5 + 2 − 3)/(2√10) = √10/5, góc = arccos(√10/5) ≈ 50°46′.
c) Góc với mặt phẳng (SAB), CH là đường cao của ΔABC:
- CH ⊥ AB và CH ⊥ SA (vì SA ⊥ (ABC)) nên CH ⊥ (SAB), góc giữa CH và (SAB) bằng 90°.
- Vì CH ⊥ (SAB) nên H là hình chiếu của C lên (SAB). Trong ΔABC vuông tại C: AH = AC·cos∠BAC = a/2, CH = a√3/2, BH = AB − AH = 3a/2.
- CA: góc = ∠CAH, tan∠CAH = CH/AH = √3 nên góc = 60°.
- CB: góc = ∠CBH, tan∠CBH = CH/BH = (a√3/2)/(3a/2) = √3/3 nên góc = 30°.
- CS: góc = ∠CSH với SH = √(SA² + AH²) = a√5/2, CS = a√2, CH = a√3/2; cos∠CSH = (CS² + SH² − CH²)/(2·CS·SH) = (2 + 5/4 − 3/4)/(√10) = √10/4, góc = arccos(√10/4) ≈ 37°46′.
d) AK là đường cao của ΔSAC từ A; vì SA = AC nên K là trung điểm SC, AK = (SA·AC)/SC = a/√2, SK = a√2/2 = a/√2.
- AK ⊥ SC và AK ⊥ BC (vì BC ⊥ (SAC) ⊃ AK) nên AK ⊥ (SBC): góc giữa AK và (SBC) bằng 90°.
- Vì AK ⊥ (SBC) nên K là hình chiếu của A lên (SBC).
- AS: góc = ∠ASK; tam giác AKS vuông tại K có AK = SK = a/√2 nên ∠ASK = 45°.
- AC: góc = ∠ACK = ∠ACS = 45° (vì K nằm trên SC, tam giác SAC cân tại A, ∠ACS = 45°).