Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình thap $AD\parallel BC,AD=2BC$. Gọi $M$ là điểm thuộc đoạn $SD$ sao cho $SD=3SM$. Gọi $F$ là giao điểm của đường thẳng $SC$ với mặt phẳng $(ABM)$. Tính tỉ số $\frac{SF}{SC}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $D(2;0;0)$, $B(0;1;0)$, $C(1;1;0)$ (vì $AD\parallel BC$, $AD=2BC$), và $S(0;0;3)$ (tùy chọn, không ảnh hưởng tỉ số). Vì $SD=3SM$ nên $M$ chia đoạn $SD$ với $\overrightarrow{SM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{SD}$, suy ra $M=S+\frac{1}{3}(D-S)=\left(\frac{2}{3};0;2\right)$.

Mặt phẳng $(ABM)$ đi qua $A$ nên có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AM}=(0;1;0)\times \left(\frac{2}{3};0;2\right)=(2;0;-\frac{2}{3})$, tức phương trình $2x-\frac{2}{3}z=0$ hay $z=3x$.

Đường thẳng $SC$: điểm $S+t(\overrightarrow{SC})$ với $\overrightarrow{SC}=(1;1;-3)$, tức $(t;t;3-3t)$. Thay vào mặt phẳng: $3-3t=3t\Rightarrow t=\frac{1}{2}$. Vậy $F$ là trung điểm $SC$, do đó $\frac{SF}{SC}=\frac{1}{2}$.

Kiểm tra lại: $F\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)$ thỏa mãn $z=3x$ và nằm trên $SC$. Đáp án D.