Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $E$, $F$, $K$ lần lượt là các điểm thuộc các cạnh $AB$, $SA$, $SD$ (khác đầu mút) sao cho $\frac{EA}{EB}=\frac{FA}{FS}=\frac{KD}{KS}$ và gọi $H$ là giao điểm của cạnh $CD$ và mặt phẳng $(EFK)$. Xét các khẳng định sau:

(1) $EK\parallel (SBC)$. (2) $KH\parallel (SBC)$.

(3) $EH\parallel (SAD)$. (4) $FK\parallel (SAD)$.

Trong các khẳng định trên có tất cả bao nhiêu khẳng định đúng?

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $\frac{EA}{EB}=\frac{FA}{FS}=\frac{KD}{KS}=k$. Trong mặt phẳng $(SAD)$, vì $\frac{FA}{FS}=\frac{KD}{KS}$ nên theo định lý Thales $FK\parallel AD$. Vì $AD\parallel BC$ với $BC\subset (SBC)$, $FK\not\subset (SBC)$ nên $FK\parallel (SBC)$. Trong mặt phẳng $(EFK)$, do $FK\parallel BC$ nên $(EFK)\cap (SBC)$ là đường thẳng qua giao điểm của $(EFK)$ với $(SBC)$ và song song với $BC$; cụ thể $(EFK)$ cắt $CD$ tại $H$ và vì $EH\parallel AD$ (do $H$ được xác định sao cho $EH\parallel AD$, chứng minh bằng Thales trong mặt phẳng $(ABCD)$: đường thẳng qua $E$ song song $AD$ cắt $CD$ tại điểm thỏa tỉ số nên trùng $H$), ta có $EH\parallel AD\parallel BC$. Khi đó trong mặt phẳng $(EFK)$, $EK$ không song song $FK$ nên $EK$ cắt đường thẳng qua $H$ song song $FK$ tại một điểm $I$; tứ giác $EFKI$... Xét trực tiếp: vì $EH\parallel FK$ (cùng song song $AD$) nên $EFKH$ là hình thang trong mặt phẳng $(EFK)$; $KH$ là cạnh, do $KH$ không song song $EF$ và $K,H$ lần lượt nằm trên $SD,CD$ với $CD\cap (SBC)$ tại $C$... Kiểm tra bằng tọa độ: chọn $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $D(0,1,0)$, $C(1,1,0)$, $S(0,0,1)$, với $t=\frac{k}{1+k}$: $E(t,0,0)$, $F(0,0,t)$, $K(0,1-t,t)$, mặt $(EFK)$: $x+z=t$, giao với $CD$ ($y=1,z=0$) tại $H(t,1,0)$. Mặt $(SBC)$: $x+z=1$.
- (1) $\overrightarrow{EK}=(-t,1-t,t)$ có $\overrightarrow{EK}\cdot (1,0,1)=-t+t=0$ và $E$ không thuộc $(SBC)$ $\Rightarrow$ $EK\parallel (SBC)$. Đúng.
- (2) $\overrightarrow{KH}=(t,t,-t)$, $\overrightarrow{KH}\cdot (1,0,1)=t-t=0$, $K$ không thuộc $(SBC)$ $\Rightarrow$ $KH\parallel (SBC)$. Đúng.
- (3) $\overrightarrow{EH}=(0,1,0)\parallel AD$, mặt $(SAD)$ là $x=0$, $E$ có $x=t\ne 0$ $\Rightarrow$ $EH\parallel (SAD)$. Đúng.
- (4) $F\in SA$, $K\in SD$ nên $FK\subset (SAD)$, do đó $FK$ không song song $(SAD)$. Sai.
Vậy có 3 khẳng định đúng.