Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $G_1,G_2$ là trọng tâm của các tam giác $A^{\prime }BD,B^{\prime }{D}^{\prime }C$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn $A$ làm gốc, đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{a}$; khi đó $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{d}$.

a) $G_1$ trọng tâm tam giác $A^{\prime }BD$: $\overrightarrow{A{G}_1}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{d}}{3}=\frac{1}{3}\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. $G_2$ trọng tâm tam giác $B^{\prime }{D}^{\prime }C$: $\overrightarrow{A{G}_2}=\frac{(\vec{a}+\vec{b})+(\vec{a}+\vec{d})+(\vec{b}+\vec{d})}{3}=\frac{2}{3}\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. Suy ra $\overrightarrow{G_1{G}_2}=\frac{1}{3}\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$, tức $G_1{G}_2=\frac{1}{3}A{C}^{\prime }\ne \frac{2}{3}A{C}^{\prime }$ → ý a SAI.

b) Vì $\overrightarrow{A{G}_1}=\frac{1}{3}\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{A{G}_2}=\frac{2}{3}\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ nên $G_1,G_2$ cùng thuộc đường thẳng $A{C}^{\prime }$ → ý b ĐÚNG.

c) $\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}=\vec{d}=-\overrightarrow{CB}$ nên $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel CB$ và bằng nhau; $\overrightarrow{A^{\prime }B}=\vec{b}-\vec{a}=\overrightarrow{D^{\prime }C}$ nên $A^{\prime }B\parallel D^{\prime }C$. Vậy $A^{\prime }{D}^{\prime }CB$ là hình bình hành → ý c ĐÚNG.

d) $\overrightarrow{BD}=\vec{d}-\vec{b}=\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}$ nên $BD\parallel B^{\prime }{D}^{\prime }$, do đó $BD\parallel (B^{\prime }{D}^{\prime }C)$; $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=\vec{a}-\vec{b}=\overrightarrow{C{D}^{\prime }}$ nên $B{A}^{\prime }\parallel C{D}^{\prime }\parallel (B^{\prime }{D}^{\prime }C)$. Hai đường cắt nhau tại $B$ cùng song song $(B^{\prime }{D}^{\prime }C)$ nên $(A^{\prime }BD)\parallel (B^{\prime }{D}^{\prime }C)$ → ý d ĐÚNG.

Kết quả S-Đ-Đ-Đ khớp đáp án nguồn (Mã đề 1246, Câu 14: SĐĐĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{A{G}_1}=\frac{1}{3}\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$, $\overrightarrow{A{G}_2}=\frac{2}{3}\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ nên $\overrightarrow{G_1{G}_2}=\frac{1}{3}\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$, tức $G_1{G}_2=\frac{1}{3}A{C}^{\prime }\ne \frac{2}{3}A{C}^{\prime }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{A{G}_1}=\frac{1}{3}\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{A{G}_2}=\frac{2}{3}\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ nên cả $G_1,G_2$ cùng thuộc đường thẳng $A{C}^{\prime }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}=\vec{d}=-\overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{A^{\prime }B}=\vec{b}-\vec{a}=\overrightarrow{D^{\prime }C}$ nên $A^{\prime }{D}^{\prime }CB$ là hình bình hành.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $BD\parallel B^{\prime }{D}^{\prime }$ và $B{A}^{\prime }\parallel C{D}^{\prime }$, hai đường cắt nhau tại $B$ cùng song song $(B^{\prime }{D}^{\prime }C)$ nên $(A^{\prime }BD)\parallel (B^{\prime }{D}^{\prime }C)$.