Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và $P$ là trung điểm $SC$. Gọi $R$ là giao điểm của $SD$ với mặt phẳng $(AGP)$. Tỉ số $\frac{SR}{SD}$ bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ: $A$ là gốc, $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$, $\overrightarrow{AS}=\vec{s}$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\vec{d}$.

Ta có:
- $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$: $\overrightarrow{AG}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{3}=\frac{2\vec{b}+\vec{d}}{3}$.
- $P$ là trung điểm $SC$: $\overrightarrow{AP}=\frac{\vec{s}+\vec{b}+\vec{d}}{2}$.
- $R$ trên $SD$: $\overrightarrow{AR}=(1-t)\vec{s}+t\vec{d}$ với $t=\frac{SR}{SD}$.

Vì $R\in (AGP)$ nên $\overrightarrow{AR}=\alpha \overrightarrow{AG}+\beta \overrightarrow{AP}=\frac{\beta }{2}\vec{s}+\left(\frac{2\alpha }{3}+\frac{\beta }{2}\right)\vec{b}+\left(\frac{\alpha }{3}+\frac{\beta }{2}\right)\vec{d}$.

So sánh hệ số:
- Theo $\vec{b}$: $0=\frac{2\alpha }{3}+\frac{\beta }{2}\Rightarrow \alpha =-\frac{3\beta }{4}$.
- Theo $\vec{d}$: $t=\frac{\alpha }{3}+\frac{\beta }{2}=\frac{\beta }{4}$.
- Theo $\vec{s}$: $1-t=\frac{\beta }{2}\Rightarrow 1=\frac{\beta }{2}+\frac{\beta }{4}=\frac{3\beta }{4}\Rightarrow \beta =\frac{4}{3}$.

Suy ra $t=\frac{1}{3}$, tức $\frac{SR}{SD}=\frac{1}{3}\approx 0,33$, khớp với đáp án nguồn.