Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$, $(\alpha )$ là mặt phẳng qua $A,M$ và song song với $SD$. Mặt phẳng $(\alpha )$ cắt $SB$ tại $N$, tính tỉ số $\frac{SN}{SB}$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong mặt phẳng $(SAD)$, kẻ đường thẳng qua $A$ song song với $SD$, cắt đường thẳng qua $S$ song song với $AD$ tại $I$. Vì $AI\parallel SD$ và $SD\subset (\alpha )$, $A\in (\alpha )$ nên $AI$ là giao tuyến của $(\alpha )$ với $(SAD)$, suy ra $AI\subset (\alpha )$. Tứ giác $ASID$ có $AI\parallel SD$ và $SI\parallel AD$ nên là hình bình hành, do đó $SI=AD$.

Hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ cùng đi qua $S$ và chứa hai đường thẳng song song $AD\parallel BC$, nên giao tuyến của chúng là đường thẳng qua $S$ song song với $BC$; do đó $I$ nằm trên đường thẳng này, tức $I\in (SBC)$.

Vậy $I\in (\alpha )\cap (SBC)$ và $M\in (\alpha )\cap (SBC)$, nên giao tuyến $(\alpha )\cap (SBC)$ là đường thẳng $MI$, suy ra $N=MI\cap SB$.

Xét trong mặt phẳng $(SBC)$: đặt $\overrightarrow{SB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{SC}=\vec{c}$. Vì $SI\parallel BC$, cùng hướng với $\overrightarrow{CB}$ và $SI=AD=BC$, nên $\overrightarrow{SI}=\vec{b}-\vec{c}$.

Ta có $\overrightarrow{SM}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$, nên $\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{SI}-\overrightarrow{SM}=\frac{\vec{b}}{2}-\frac{3\vec{c}}{2}$. Điểm $N$ trên đường thẳng $MI$ nên $\overrightarrow{SN}=\overrightarrow{SM}+t\overrightarrow{MI}$. Do $N\in SB$ nên $\overrightarrow{SN}=k\vec{b}$. So sánh hệ số theo $\vec{c}$: $\frac{1}{2}-\frac{3t}{2}=0\Rightarrow t=\frac{1}{3}$. So sánh hệ số theo $\vec{b}$: $k=\frac{1}{2}+\frac{t}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$.

Kiểm tra bằng tọa độ: chọn $A(0;0;0)$, $B(2;0;0)$, $D(0;2;0)$, $C(2;2;0)$, $S(0;0;h)$, $M(2;1;0)$. Đường thẳng qua $A$ song song $SD$ cắt đường thẳng qua $S$ song song $AD$ tại $I(0;-2;h)$. Đường thẳng $MI$: $(2-2s;1-3s;hs)$; giao với $SB$: $(2u;0;h(1-u))$ cho $s=\frac{1}{3}$, $u=\frac{2}{3}$ (kiểm tra $z$: $\frac{h}{3}=h(1-\frac{2}{3})$ đúng).

Vậy $\frac{SN}{SB}=\frac{2}{3}$.