Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$, $N$, $P$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh $SB$, $BC$ và $SD$. Xét tính đúng – sai của các mệnh đề sau:

(AI giải đề cho tôi)
a) Trong tam giác SBC, MN là đường trung bình nên MN ∥ SC; trong tam giác SCD, NP là đường trung bình nên NP ∥ CD. Vì CD ⊂ (ABCD), mặt phẳng (MNP) chứa đường thẳng qua N song song với CD — đó là giao tuyến của (MNP) và (ABCD). Trong mặt phẳng đáy, đường thẳng qua N (trung điểm BC) song song với CD cắt BD tại trung điểm của BD (tính chất đường trung bình tam giác BCD). Vậy a) ĐÚNG.

b) MP là đường trung bình tam giác SBD nên MP ∥ BD và MP ⊂ (SBD). Đường thẳng SC cắt mặt phẳng (SBD) tại duy nhất điểm S, mà S ∉ MP. Do đó MP và SC không có điểm chung, tức chéo nhau. Vậy b) ĐÚNG.

c) Lấy A làm gốc, đặt $\overrightarrow{AB}=\mathbf{b},\overrightarrow{AD}=\mathbf{d},\overrightarrow{AS}=\mathbf{s}$. Khi đó $M=\frac{\mathbf{s}+\mathbf{b}}{2}$, $N=\mathbf{b}+\frac{\mathbf{d}}{2}$, $P=\frac{\mathbf{s}+\mathbf{d}}{2}$. Điểm $K\in SA$ có dạng $K=t\mathbf{s}$. Giải $K=M+\alpha (N-M)+\beta (P-M)$:
- Hệ số $\mathbf{d}$: $\frac{\alpha }{2}+\frac{\beta }{2}=0\Rightarrow \beta =-\alpha$.
- Hệ số $\mathbf{b}$: $\frac{1}{2}+\frac{\alpha }{2}-\frac{\beta }{2}=0\Rightarrow \frac{1}{2}+\alpha =0\Rightarrow \alpha =-\frac{1}{2},\beta =\frac{1}{2}$.
- Hệ số $\mathbf{s}$: $t=\frac{1}{2}-\frac{\alpha }{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$.
Vậy $\frac{AK}{AS}=\frac{3}{4}$, suy ra $\frac{SK}{SA}=\frac{1}{4}$. Vậy c) ĐÚNG.

d) Hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) cùng chứa S và B (vì B ∈ AB và B ∈ BC), nên giao tuyến của chúng là đường thẳng SB, không phải SA. Vậy d) SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
MN ∥ SC, NP ∥ CD nên giao tuyến của (MNP) và (ABCD) là đường qua N song song với CD; đường này cắt BD tại trung điểm BD (đường trung bình tam giác BCD).
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
MP ∥ BD và MP ⊂ (SBD); SC cắt (SBD) tại S mà S ∉ MP, nên MP và SC chéo nhau, không cắt nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Tọa hóa với A làm gốc: giải $K=M+\alpha (N-M)+\beta (P-M)$ cho $\alpha =-\frac{1}{2},\beta =\frac{1}{2}$, suy ra $\frac{AK}{AS}=\frac{3}{4}$ nên $\frac{SK}{SA}=\frac{1}{4}$. Mệnh đề ĐÚNG.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
(SAB) và (SBC) cùng chứa S và B nên giao tuyến là SB, không phải SA.