Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AB$ và $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SMD)$ và $(SAC)$.

b) Tìm giao điểm $K$ của đường thẳng $GO$ và mặt phẳng $(SCD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hướng giải chi tiết cho Câu 3 (Phần IV):

a) Ta có: $S\in (SMD)\cap (SAC)$ nên hai mặt phẳng đã có điểm chung $S$.
Trong mặt phẳng đáy $(ABCD)$, gọi $P=MD\cap AC$. Vì $M\in AB$, $D\in CD$ nên đường thẳng $MD$ cắt đường chéo $AC$ tại điểm $P$ (xác định, $P$ nằm trong đoạn $AC$ vì $M$ là trung điểm $AB$).
Khi đó: $P\in MD\subset (SMD)$ và $P\in AC\subset (SAC)$.
Vậy giao tuyến của $(SMD)$ và $(SAC)$ là đường thẳng $SP$.

b) Vì $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$ nên $G\in SM$ với $SG=2GM$.
Xét mặt phẳng $(SOM)$ (chứa đường thẳng $GO$ vì $G,O\in (SOM)$):
- Trong đáy, $MO$ là đường trung bình của tam giác $ABD$ (vì $M$ trung điểm $AB$, $O$ trung điểm $BD$) nên $MO\parallel AD$ và $MO$ cắt $CD$ tại trung điểm $Q$ của $CD$.
- Ta có $Q\in CD\subset (SCD)$ và $S\in (SCD)$, nên $(SOM)\cap (SCD)=SQ$.
- Trong mặt phẳng $(SOM)$, đường thẳng $GO$ cắt đường thẳng $SQ$ tại $K$.
Vậy $K=GO\cap SQ$ chính là giao điểm cần tìm, với $K$ nằm ngoài đoạn $GO$ (phía qua $O$), thỏa mãn $OK=3OG$ (tức $GK=4GO$).

Kiểm tra bằng tọa độ: đặt $A(0;0;0)$, $B(2;0;0)$, $D(0;2;0)$, $C(2;2;0)$, $S(0;0;3)$. Khi đó $M(1;0;0)$, $G(\frac{2}{3};0;1)$, $O(1;1;0)$, $Q(1;2;0)$. Mặt phẳng $(SCD)$ có phương trình $3y+2z=6$. Đường thẳng $GO$: $(x;y;z)=(\frac{2}{3}+\frac{t}{3};t;1-t)$. Thay vào phương trình mặt phẳng: $3t+2(1-t)=6\Rightarrow t=4$, suy ra $K(2;4;-3)$. Kiểm tra $K$ trên đường thẳng $SQ$: $(u;2u;3-3u)$ với $u=2$ cho $(2;4;-3)$ — khớp. Vậy kết luận đúng.