Giải các phương trình lượng giác sau:

a) $\sin x=\sin \left(-\frac{2\pi }{7}\right)$;

b) $\cot \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)-1=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1 (Phần IV):

a) $\sin x=\sin \left(-\frac{2\pi }{7}\right)$.

Phương trình $\sin x=\sin \alpha$ có họ nghiệm $x=\alpha +k2\pi$ hoặc $x=\pi -\alpha +k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

Với $\alpha =-\frac{2\pi }{7}$:
- $x=-\frac{2\pi }{7}+k2\pi$;
- $x=\pi +\frac{2\pi }{7}+k2\pi =\frac{9\pi }{7}+k2\pi$.

Vậy $x=-\frac{2\pi }{7}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{9\pi }{7}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

b) $\cot \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)-1=0\iff \cot \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)=1$.

Điều kiện: $\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\ne k\pi \iff x\ne -\frac{\pi }{2}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

$\cot \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)=1\iff \frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+k\pi \iff \frac{x}{2}=k\pi \iff x=2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

Kiểm tra điều kiện: với $x=2k\pi$ thì $\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}=k\pi +\frac{\pi }{4}\ne k^{\prime }\pi$, thỏa mãn.

Vậy $x=2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.