Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy $ABCD$ là hình bình hành (tham khảo hình bên). Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$, $I$ là điểm thuộc cạnh $SC$ sao cho $SI=2IC$. Gọi $P$ là giao điểm của $AC$ và $(SMD)$. Gọi $K$ là giao điểm của $AI$ và $(SMD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ $A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C(1,1,0),S(0,0,3)$. Suy ra $M(1,\frac{1}{2},0)$, $I=\frac{S+2C}{3}=(\frac{2}{3},\frac{2}{3},1)$. Mặt phẳng $(SMD)$ có phương trình $\frac{3}{2}x+3y+z=3$.
- $P=AC\cap (SMD)$: điểm $(t,t,0)$ cho $\frac{9}{2}t=3\Rightarrow t=\frac{2}{3}$, nên $P=(\frac{2}{3},\frac{2}{3},0)$.
- $K=AI\cap (SMD)$: điểm $uI=(\frac{2u}{3},\frac{2u}{3},u)$ cho $4u=3\Rightarrow u=\frac{3}{4}$, nên $K=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{4})$.

a) Đường $SD$ có dạng $(0,s,3-3s)$ với $x=0\ne \frac{2}{3}$, nên $P\notin SD$ → sai.
b) Đường $SP$: $(\frac{2v}{3},\frac{2v}{3},3-3v)$; với $v=\frac{3}{4}$ được đúng $K=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{4})$, tức $K\in SP$ → đúng.
c) $(SAB)$ là mặt phẳng $y=0$; $\overrightarrow{IP}=(0,0,-1)$ có thành phần $y=0$ và $IP\not\subset (SAB)$ (các điểm có $y=\frac{2}{3}$) → $IP\parallel (SAB)$, đúng.
d) $(IMA)$ có pháp tuyến $\overrightarrow{AI}\times \overrightarrow{AM}=(-\frac{1}{2},1,-\frac{1}{3})$, phương trình $-\frac{x}{2}+y-\frac{z}{3}=0$. Thay điểm $SD(0,s,3-3s)$: $2s-1=0\Rightarrow H=(0,\frac{1}{2},\frac{3}{2})$. Ta có $MK=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt{13}}{4}$, $MH=\sqrt{1+\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{13}}{2}$, nên $\frac{MK}{MH}=\frac{1}{2}$, $a+b=3\ne 7$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$P=(\frac{2}{3},\frac{2}{3},0)$ không thuộc $SD$ vì trên $SD$ luôn có $x=0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$K=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{4})$ nằm trên đường thẳng $SP$ với tham số $v=\frac{3}{4}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{IP}=(0,0,-1)$ song song với mặt phẳng $(SAB)$ có phương trình $y=0$, và $IP\not\subset (SAB)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$H=(0,\frac{1}{2},\frac{3}{2})$, $\frac{MK}{MH}=\frac{1}{2}$ nên $a+b=3\ne 7$.