Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy $ABCD$ (tham khảo hình bên). Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ và $AM\parallel CD$, $I$ là điểm thuộc cạnh $SC$ sao cho $IC=2IS$. Đường thẳng $SD$ cắt mặt phẳng $(IMA)$ tại $H$.



Tính tỉ số $\frac{SH}{HD}$?

(AI giải đề cho tôi)
Vì tỉ số SH/HD bất biến dưới phép biến hình affine, ta chọn tọa độ tiện: đáy ABCD là hình thang với AM ∥ CD, M là trung điểm BC. Chọn B=(0,0,0), C=(2,0,0), M=(1,0,0), A=(0,−1,0), D=(1,−1,0) (kiểm tra: AM=(1,1,0) ∥ CD=(−1,−1,0), M là trung điểm BC). Lấy S=(0,0,2). Điểm I trên SC với IC=2IS (tức SI:IC=1:2): I = (2S+C)/3 = (2/3, 0, 4/3). Mặt phẳng (IMA): AM=(1,1,0), AI=(2/3,1,4/3), pháp tuyến AM×AI = (4/3, −4/3, 1/3), nên phương trình mặt phẳng qua M(1,0,0) là 4x − 4y + z = 4. Điểm H trên SD: H = S + t(D−S) = (t, −t, 2−2t). Thay vào mặt phẳng: 4t + 4t + 2 − 2t = 6t + 2 = 4 ⇒ t = 1/3. Vậy SH/SD = 1/3, do đó SH/HD = (1/3)/(2/3) = 1/2.