Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Biết $AB=a$, $AD=2a$, cạnh bên $SA=2a$ và vuông góc với mặt đáy. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SB$, $SD$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;2a;0)$, $C(a;2a;0)$, $S(0;0;2a)$. Khi đó $M(\frac{a}{2};0;a)$, $N(0;a;a)$.
a) $\overrightarrow{AM}=(\frac{a}{2};0;a)$, $\overrightarrow{AB}=(a;0;0)$ nên $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AB}=\frac{a^2}{2}$. Đúng.
b) $\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{NM}=(\frac{a}{2};-a;0)$, độ dài $=a\sqrt{\frac{1}{4}+1}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\ne \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Sai.
c) $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}=(-a;0;0)$ ngược hướng $\overrightarrow{AB}$. Sai.
d) $\overrightarrow{CS}=(-a;-2a;2a)$, $\overrightarrow{CA}=(-a;-2a;0)$. $\cos =\frac{a^2+4a^2}{3a\cdot a\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$, $\sin =\frac{2}{3}$, $\tan =\frac{2/3}{\sqrt{5}/3}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AB}=\frac{a}{2}\cdot a=\frac{a^2}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$|\overrightarrow{NM}|=\frac{a\sqrt{5}}{2}\ne \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$ ngược hướng $\overrightarrow{AB}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos (\overrightarrow{CS},\overrightarrow{CA})=\frac{\sqrt{5}}{3}\Rightarrow \tan =\frac{2\sqrt{5}}{5}$.