Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi nhưng không là hình vuông. Biết rằng $AB=SA=SB=SD=a$ và thể tích khối chóp đã cho bằng $\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$.
1) Chứng minh rằng $(SBC)\perp (SCD)$.
2) Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SM$ và $BD$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi O là giao điểm hai đường chéo hình thoi ABCD. Vì SA=SB=SD=a nên S nằm trên đường thẳng vuông góc với (ABCD) đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD; tâm này nằm trên AC. Đặt AO=m, OB=n thì m²+n²=a², bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD (đỉnh A, đáy BD=2n, đường cao m) là R=a²/(2m), chiều cao h=SO=√(a²−R²)=a√(4m²−a²)/(2m). Thể tích V=(1/3)·(2mn)·h=(a/3)√(a²−m²)·√(4m²−a²)=a³√2/6 suy ra (a²−m²)(4m²−a²)=a⁴/2. Đặt u=m²/a²: (1−u)(4u−1)=1/2 ⟺ 8u²−10u+3=0 ⟹ u=1/2 hoặc u=3/4. u=1/2 cho hình vuông (bị loại), vậy u=3/4: m=a√3/2, n=a/2, tức AC=a√3, BD=a, h=a√(2/3). 1) Tính SC²=SO²+OC'² với chân đường vuông góc O' cách A một đoạn R=a/√3: OC'=a√3−a/√3=2a/√3, SC²=2a²/3+4a²/3=2a², SC=a√2. Tam giác SBC có SB=BC=a, SC=a√2 nên vuông tại B; tam giác SDC vuông tại D. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ B (và D) xuống SC thì BH=DH=a²/(a√2)=a/√2, mà BD=a nên BH²+DH²=a²=BD², suy góc giữa (SBC) và (SCD) bằng 90°, tức (SBC)⊥(SCD). 2) Chọn hệ tọa độ: O(0;0;0), A(−a√3/2;0;0), C(a√3/2;0;0), B(0;a/2;0), D(0;−a/2;0), S(−a/(2√3);0;a√(2/3)), M(a√3/4;a/4;0). Vector SM=a(5/(4√3);1/4;−√(2/3)), phương trình BD có vecto chỉ phương u=(0;1;0). SM×u=a(√(2/3);0;5/(4√3)), |SM×u|=a√19/4. Lấy B−S=(a/(2√3);a/2;−a√(2/3)), tích vô hướng (SM×u)·(B−S)=−a²√2/4. Khoảng cách d=|−a²√2/4|/(a√19/4)=a√2/√19=a√38/19.