Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$, hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ cùng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Cho $AB=SA=a$, $SO=\frac{a\sqrt{6}}{3}$. Góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAD)$ bằng bao nhiêu độ?

(AI giải đề cho tôi)
Vì $(SAC)\perp (ABCD)$ và $(SBD)\perp (ABCD)$ nên giao tuyến $SO\perp (ABCD)$. Đặt hệ tọa độ: $O(0,0,0)$, $S(0,0,h)$ với $h=\frac{a\sqrt{6}}{3}$; $A\left(-\frac{a}{\sqrt{3}},0,0\right)$, $C\left(\frac{a}{\sqrt{3}},0,0\right)$, $B\left(0,\frac{a\sqrt{6}}{3},0\right)$, $D\left(0,-\frac{a\sqrt{6}}{3},0\right)$. Kiểm tra: $S{A}^2=\frac{a^2}{3}+\frac{2a^2}{3}=a^2$ ✓, $A{B}^2=\frac{a^2}{3}+\frac{2a^2}{3}=a^2$ ✓.

Vector pháp tuyến của $(SAB)$: ${\vec{n}}_1=\overrightarrow{AS}\times \overrightarrow{AB}\propto (-2,\sqrt{2},\sqrt{2})$; của $(SAD)$: ${\vec{n}}_2=\overrightarrow{AS}\times \overrightarrow{AD}\propto (2,\sqrt{2},-\sqrt{2})$.
$$\cos ({\vec{n}}_1,{\vec{n}}_2)=\frac{-4+2-2}{\sqrt{8}\cdot \sqrt{8}}=-\frac{1}{2}\Rightarrow$$ góc giữa hai pháp tuyến bằng $120^{\circ }$, nên góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAD)$ bằng $180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$.

Kiểm tra bằng công thức $\sin \phi =\frac{d(B,(SAD))}{d(B,SA)}$: $d(B,(SAD))=\frac{2a}{\sqrt{6}}$, $d(B,SA)=\frac{2a\sqrt{2}}{3}$, suy ra $\sin \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \phi =60^{\circ }$, khớp với đáp án $60$.