Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ và $SA=SC$, $SB=SD$. Chứng minh rằng:

a) $SO\perp (ABCD)$;

b) $AC\perp (SBD)$ và $BD\perp (SAC)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Tam giác $SAC$ cân tại $S$ ($SA=SC$) có $O$ là trung điểm $AC$ (vì $ABCD$ là hình thoi nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường), do đó $SO$ là trung tuyến, suy ra $SO\perp AC$. Tương tự, tam giác $SBD$ cân tại $S$ ($SB=SD$) có $O$ là trung điểm $BD$, nên $SO\perp BD$. Trong mặt phẳng $(ABCD)$, $AC$ và $BD$ là hai đường chéo cắt nhau tại $O$, đồng thời $SO\not\subset (ABCD)$. Vậy $SO\perp (ABCD)$.

b) • $AC\perp (SBD)$: Theo a) có $SO\perp (ABCD)$ nên $SO\perp AC$. Hình thoi $ABCD$ có hai đường chéo vuông góc nên $AC\perp BD$. Vì $AC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $SO$ và $BD$ trong mặt phẳng $(SBD)$, suy ra $AC\perp (SBD)$.
• $BD\perp (SAC)$: Theo a) có $SO\perp (ABCD)$ nên $SO\perp BD$. Hình thoi $ABCD$ có $BD\perp AC$. Vì $BD$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $SO$ và $AC$ trong mặt phẳng $(SAC)$, suy ra $BD\perp (SAC)$.

Kiểm tra: các kết luận dùng đúng định lý đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (vuông góc với hai đường cắt nhau trong mặt phẳng) và tính chất hình thoi (đường chéo là trung điểm, hai đường chéo vuông góc); lập luận chặt chẽ, đúng.